Question

16．已知函数f（x）=log₃（8+2x-x²），g（x）=4^x-2^x+2+3．
（1）求函数f（x）定义域和值域；
（2）若函数f（x）与函数g（x）定义域相同，求函数g（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）根据真数为正，确定函数f（x）的定义域，再根据真数的取值范围得出f（x）的值域；
（2）根据函数的定义域，运用配方法和二次函数的性质求得函数g（x）的值域．

解答 解：（1）要使f（x）=log₃（8+2x-x²）有意义，
则8+2x-x²＞0，即（x+2）（x-4）＜0，
解得，x∈（-2，4），
所以，函数f（x）的定义域为：（-2，4），
又8+2x-x²=-（x-1）²+9∈（0，9]，
所以，f（x）∈（-∞，log₃9]，
即f（x）的值域为：（-∞，2]；
（2）因为g（x）的定义域与f（x）的定义域相同，
所以，g（x）的定义域为：（-2，4），
且g（x）=4^x-2^x+2+3=2^2x-4•2^x+3=（2^x-2）²-1，
其中，x∈（-2，4），2^x∈（$\frac{1}{4}$，16），所以，
①当2^x=2时，g（x）取得最小值-1，
②当2^x=16时，g（x）取得最大值195（不取等号），
所以，g（x）的值域为：[-1，195）．

点评 本题主要考查了函数定义域与值域的解法，涉及对数函数，指数函数的图象与性质，用到配方法和二次函数的性质，属于中档题．