Question

数列{a_n}前n项和为S_n，首项为x（x∈R），满足S_n=（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）是否存在x（x∈R），使（其中k是与正整数n无关的常数），若存在，求出x与k的值，若不存在，说明理由；
（3）求证：x为有理数的充要条件是数列{a_n}中存在三项构成等比数列．

Answer 1

【答案】分析：（1）由S_n=（n∈N^*）得由S_n+1=，由此两方程得出a_n+1-a_n=1，即数列{a_n}是等差数列，由等差数列的通项公式写出数列的通项；
（2）假设存在，由题意S_n=kS_2n，即xn+n（n-1）=k（2xn+n（2n-1）），整理得（1-4k）n-（2x-1）（2k-1）=0进行判断即可得到x与k的值
（3）由充要条件的证明方法，先证充分性，再证必要性即可．
解答：解：由S_n=（n∈N^*）得由S_n+1=
故可得a_n+1=（n+1）a_n+1-na_n-n∴a_n+1-a_n=1，即数列{a_n}是等差数列，首项为x公差为1，∴a_n=x+（n-1）（n∈N^*）
（2）由题意S_n=kS_2n，即xn+n（n-1）=k（2xn+n（2n-1）），整理得（1-4k）n-（2x-1）（2k-1）=0，当x=，k=时，该式恒成立即：当x=时，，∴x=，k=即为所求
（3））证明：充分性若三个不同的项x+i，x+j，x+k成等比数列，且i＜j＜k
则（x+j）²=（x+i）（x+k），即x（i+k-2j）=j²-ik
若i+k-2j=0，则j²-ik=0，∴i=j=k与i＜j＜k矛盾．i+k-2j≠0
∴x=，且i，j，k都是非负数，∴x是有理数；
必要性：若x是有理数，且x≤0，则必存在正整数k，使x+k＞0，令y=x+k，则正项数列y，y+1，y+2…是原数列
x，x+1，x+2…的一个子数列，只要正项数列y，y+1，y+2…中存在三个不同的项构成等比数列则原数列中必有3个不同项构成等比数列，
不失一般性，不妨设x＞0，记x=（m，n∈N^*，且m，b互质），又设k，l∈N^*，l＞k，且x，x+k，x+l成等比数列，则（x+k）²=x（x+l）⇒2k+，为使l为整数，可令k=2n，于是l=2n+mn=n（m+2），可知x，x+n，x+n（m+2），成等比数列，证毕
点评：本题考查数列的递推式，解题的关键是充分利用递推式的恒成立的特性，通过恒等变形得到数列的性质，从而求出数列的通项，本题第三问涉及到了充要条件的证明，要注意其证明格式．本题比较抽象，运算量大，运算变形时要认真严谨．