Question

已知曲线C：f（x）=x+（a＞0），直线l：y=x，在曲线C上有一个动点P，过点P分别作直线l和y轴的垂线，垂足分别为A，B．再过点P作曲线C的切线，分别与直线l和y轴相交于点M，N，O是坐标原点．则△OMN与△ABP的面积之比为    ．

Answer 1

【答案】分析：由题意易得B的坐标，写出垂线的方程联立y=x可得A坐标，进而可得△ABP的面积，然后可写出切线的方程，进而可得M、N的坐标，可表示出△OMN的面积，从而求出△OMN与△ABP的面积之比．
解答：解：由题意设点P（x，x+），则B（0，x+），
又与直线l垂直的直线向斜率为-1，故方程为y-（x+）=-（x-x）
和方程y=x联立可得x=y=x+，故点A（x+，x+），
故△ABP的面积S=|x||x+-（x+）|
=|x|||=a，解得a=2，
又因为f（x）=x+，所以f′（x）=1-，故切线率为k=1-，
故切线的方程为y-（x+）=（1-）（x-x），
令x=0，可得y=，故点N（0，），
联立方程y=x可解得x=y=2x，即点M（2x，2x），
故△OMN的面积为 •|||2x|=2a，
则△OMN与△ABP的面积之比为 8．
故答案为：8．
点评：本题考查利用导数研究曲线的切线方程，涉及三角形的面积和方程组的求解，属中档题．