Question

已知{a_n}是各项均为正数的等比数列a₁+a₂=2（

1

a1

+

1

a2

），a₃+a₄+a₅=64(

1

a3

+

1

a4

+

1

a5

）
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=（a_n+

1

an

）²，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）由题意利用等比数列的通项公式建立首项a₁与公比q的方程，然后求解即可
（2）由b_n的定义求出通项公式，在由通项公式，利用分组求和法即可求解

解答：解：（1）设正等比数列{a_n}首项为a₁，公比为q，由题意得：

a1(1+q)=2• 1 a1 • 1 q (1+q) a1q2(1+q+q2)=64• 1 a1q4 (1+q+q2)

?

a12q=2 a12q6=64

?

a1=1 q=2

∴a_n=2^n-1（6分）
（2）bn=(2n-1+

1

2n-1

)2=4n-1+(

1

4

)n-1+2
∴b_n的前n项和T_n=

1(1-4n)

1-4

+

1(1- 1 4n )

1- 1 4

+2n=

1

3

•4n-

4

3

•(

1

4

)n+2n+1（12分）

点评：（1）此问重基础及学生的基本运算技能（2）此处重点考查了高考常考的数列求和方法之一的分组求和，及指数的基本运算性质