Question

【题目】设数列{an}满足a1+a2+…+an+2n= （an+1+1），n∈N* ， 且a1=1，求证：
（1）数列{an+2n}是等比数列；
（2）求数列{an}的前n项和Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵a1+a2+…+an+2n= （an+1+1），

∴当n≥2时，a1+a2+…+an﹣1+2n﹣1= （an+1），

∴an+2n﹣1= ，

化为an+1=3an+2n，

变形为：an+1+2n+1=3

∴数列{an+2n}是等比数列，首项为3，公比为3

（2）解：由（1）可得：an+2n=3n，

∴an=3n﹣2n，

∴数列{an}的前n项和Sn= ﹣ = ﹣2n+1+

【解析】（1）利用递推关系、等比数列的通项公式即可得出；（2）利用等比数列的前n项和公式即可得出．