Question

已知：函数f（x）=ax+

b

x

+c（a、b、c是常数）是奇函数，且满足f（1）=

5

2

，f（2）=

17

4

，
（Ⅰ）求a、b、c的值；
（Ⅱ）试判断函数f（x）在区间（0，

1

2

）上的单调性并说明理由；
（Ⅲ）试求函数f（x）在区间（0，+∞）上的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函数是奇函数得f（-x）+f（x）=0代入求得c的值，又因为f（1）=

5

2

，f（2）=

17

4

，代入得到a与b的方程，联立求出a、b即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）的解析式，求出f′（x），在（0，

1

2

）上得到导函数的正负即可得到函数的单调区间；
（Ⅲ）令导函数等于0求得x=

1

2

，根据x的取值区间讨论导函数的增减性，得到函数的最小值．

解答：解：（Ⅰ）∵函数f（x）是奇函数，则f（-x）+f（x）=0
即-ax-

b

x

+c+ax+

b

x

+c=0∴c=0
由f（1）=

5

2

，f（2）=

17

4

，得a+b=

5

2

，2a+

b

2

=

17

4

解得a=2，b=

1

2

∴a=2，b=

1

2

，c=0
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2x+

1

2x

，∴f′（x）=2-

1

2x2

当x∈（0，

1

2

）时，0＜2x²＜

1

2

，

1

2x2

＞2
∴f′（x）＜0，即函数f（x）在区间（0，

1

2

）上为减函数．
（Ⅲ）由f′（x）=2-

1

2x2

=0，x＞0得x=

1

2

∵当x＞

1

2

，

1

2x2

＜2，
∴f′（x）＞0，
即函数f（x）在区间（

1

2

，+∞）上为增函数．在（0，

1

2

）上为减函数．
所以f（x）的最小值=f（

1

2

）=2．

点评：考查学生会用待定系数法求函数的解析式，理解当函数为奇函数时，有f（-x）+f（x）=0成立，会利用导数求闭区间上函数的最值．