Question

在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程是

x= 2 2 t，  y= 2 2 t+4 2

（t为参数）；以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的极坐标方程为ρ=2cos(θ+

π

4

)．由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．

Answer 1

分析：把参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程，可得圆和直线相离．由于直线l上的点到圆C的距离最小值为圆心到直线的距离d=5，可得切线的最小值为

d2-r2

，计算求得结果．

解答：解：把直线l的参数方程

x= 2 2 t，  y= 2 2 t+4 2

（t为参数）化为普通方程为 x-y+4

2

．
圆C的极坐标方程为ρ=2cos(θ+

π

4

)，即 ρ²=2ρ•

2

2

cosθ-2ρ•

2

2

sinθ，即 x²+y²=

2

x-

2

y，
即 (x-

2

2

)2+(y+

2

2

)2=1，表示以C（

2

2

，-

2

2

）为圆心，半径等于1的圆．
由于圆心C到直线 x-y+4

2

的距离为d=

| 2 2 + 2 2 +4 2 |

2

=5，故圆和直线相离．
要使切线长最小，只有直线l上的点到圆C的距离最小，此时，直线l上的点到圆C的距离最小值为d=5，
故切线的最小值为

d2-r2

=

25-1

=2

6

．

点评：本题主要考查把参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，属于中档题．