Question

将方程x+tanx=0的正根从小到大地依次排列为a₁，a₂，…，a_n，…，给出以下不等式：①0＜an+1-an＜

π

2

；②

π

2

＜an+1-an＜π；③2a_n+1＞a_n+2+a_n；④2a_n+1＜a_n+2+a_n；其中，正确的判断是

②④

．（请写出正确的序号）

Answer 1

分析：在同一坐标系中分别画出直线y₁=-x及正切曲线y₂=tanx的图象，借助图象分析方程x+tanx=0的正根的分布情况及变化规律，进而可得答案．

解答：解：分别作直线y₁=-x及正切曲线y₂=tanx的图象如图所示：
则两者的交点即为x+tanx=0的根
则在正切函数的每一个周期π内，y₁与y₂都有一个交点，
由图可得两个交点横坐标之间的差大于正切函数的半个周期，
但不超过正切函数的一个周期
∴

π

2

＜a_n+1-a_n＜π，故②对①错．
从原点向右距离越来越大
∴a_n+2-a_n+1＞a_n+1-a_n，即：2a_n+1＜a_n+2+a_n；
故④对③错．
故答案为：②④．

点评：本题以命题的真假判断为载体考查了正切函数的图象和性质，方程根与函数零点的关系，画出两个函数的图象，借助图象直观分析是解答的关键．