Question

【题目】已知函数f（x）=aln（x+1）+ x2﹣x，其中a为非零实数．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若y=f（x）有两个极值点x1 ， x2 ， 且x1＜x2 ， 求证： ＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）= ，x＞1，

当a﹣1≥0即a≥1时f′（x）≥0，

∴f（x）在（﹣1，+∞）递增，

当0＜a＜1时，由f′（x）=0，

∴x1=﹣ ＞﹣1，x2= ，

∴f（x）在（﹣1，﹣ ）递增，在（﹣ ， ）递减，在（ ，+∞）递增，

当a＜0时，∵x1＜﹣1，∴f（x）在（﹣1， ）递减，在（ ，+∞）递增

（2）证明：∵0＜a＜1且x1=﹣ ，x2= ，

∴x1+x2=0，x1x2=a﹣1且x2∈（0，1），

＜ ＜ f（x2）+ x2＞0

aln（x2+1）+ ﹣ x2＞0

（1+x2）ln（x2+1）﹣ x2＞0，

令g（x）=（1+x）ln（x+1）﹣ x，x∈（0，1），

∵g′（x）=ln（x+1）+ ＞0，

∴g（x）在（0，1）递增，

∴g（x）＞g（0）=0，

∴命题得证

【解析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）所证问题转化为（1+x2）ln（x2+1）﹣ x2＞0，令g（x）=（1+x）ln（x+1）﹣ x，x∈（0，1），根据函数的单调性证明即可．
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能得出正确答案．