Question

8．已知f（x）=x²-4x+2，递增的等差数列{a_n}满足a₁=f（x+1），a₂=0，a₃=f（x-1）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=2^a_n-2n，试求满足b₁+b₂+…+b_n＜2015的最大自然数n．

Answer 1

分析 （1）根据f（x）写出${a}_{1}={x}^{2}-2x-1$，${a}_{3}={x}^{2}-6x+7$，由a₁+a₃=0且{a_n}为递增数列即可求得x=1，从而根据等差数列的通项公式写出a_n=2n-4；
（2）写出${b}_{n}={2}^{2n-4}-2n$，根据等比数列及等差数列的求和公式即可写出${b}_{1}+{b}_{2}+…+{b}_{n}={4}^{n-2}-{n}^{2}-n$，能够说明b₁+b₂+…+b₇＜2015，而b₁+b₂+…+b₈＞2015，从而求得满足b₁+b₂+…+b_n＜2015的最大自然数n．

解答 解：（1）${a}_{1}=f（x+1）={x}^{2}-2x-1$，a₂=0，${a}_{3}=f（x-1）={x}^{2}-6x+7$；
∵a₁+a₃=0；
∴x²-4x+3=0；
∴x=1，或3；
又{a_n}递增，∴x=1；
∴a₁=-2，d=2；
∴a_n=-2+（n-1）•2=2n-4，n∈N^*；
即a_n=2n-4，n∈N^*；
（2）${b}_{n}={2}^{2n-4}-2n$；
∴b₁+b₂+…+b_n=2^-2+2⁰+…+2^2n-4-（2+4+…+2n）=4^n-2-n²-n；
n=7时，b₁+b₂+…+b₇=1025-49-7＜2015；
n=8时，${b}_{1}+{b}_{2}+…+{b}_{8}={4}^{6}-64-8$=4096-64-8＞2015；
∴满足b₁+b₂+…+b_n＜2015的最大自然数为7．

点评 考查等差数列的定义，等差数列的通项公式，以及等比数列、等差数列的求和公式．