Question

18．在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}+tcosα\\ y=2+tsinα\end{array}\right.（t$是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，C₂曲线的极坐标方程为ρ²=4$\sqrt{2}$ρsin（$θ+\frac{π}{4}$）-4．
（1）求曲线C₂的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；
（2）若曲线C₁与曲线C₂交于A，B两点，求|AB|的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用极坐标与直角坐标的互化方法求曲线C₂的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；
（2）当直线过圆心（2，2）时，|AB|的最大为4，当AB为过点P（$\sqrt{3}$，2）且与PC₁垂直时，|AB|最小．

解答 解：（1）对于C₂曲线的极坐标方程为ρ²=4$\sqrt{2}$ρsin（$θ+\frac{π}{4}$）-4，
即x²+y²=4x+4y-4，因此曲线C₂的直角坐标方程为（x-2）²+（y-2）²=4，
其表示一个以（2，2）为圆心，半径为2的圆．
（2）曲线C₂是过点P（$\sqrt{3}$，2）的直线，P（$\sqrt{3}$，2）在曲线C₂内，
所以当直线过圆心（2，2）时，|AB|的最大为4，
当AB为过点P（$\sqrt{3}$，2）且与PC₁垂直时，|AB|最小，弦心距为2-$\sqrt{3}$，最小值为2$\sqrt{-3+4\sqrt{3}}$．

点评 本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查直线与圆的位置关系，考查学生的转化能力，属于中档题．