Question

（本小题满分13分）

已知数列满足：，

   （I）求得值；

   （II）设求证：数列是等比数列，并求出其通项公式；

   （III）对任意的，在数列中是否存在连续的项构成等差数列？若存在，写出这项，并证明这项构成等差数列；若不存在，说明理由.

 

Answer 1

【答案】

解：（I）因为，

        ………………3分

 

   （II）由题意，对于任意的正整数，

所以            ………………4分

又

所以           ………………6分

又        ………………7分

所以是首项为2，公比为2的等比数列，所以 ………………8分

   （III）存在，事实上，对任意的中，

这连续的项就构成一个等差数列………………10分

我们先来证明：

“对任意的”

由（II）得

当为奇数时，

当k为偶数时，

记

因此要证

其中

   （这是因为若时，则k一定是奇数）

有

如此递推，要证

其中

如此递推下去，我们只需证明

即，由（I）可得，

所以对

对任意的

所以

又

所以这连续的项，

是首项为的等差数列。 ………………13分

说明：当时，

因为构成一个项数为的等差数列，所以从这个数列中任取连续的项，也是一个项数为的等差数列。

【解析】略