Question

（2013•肇庆二模）如图1，在直角梯形ABCD中，已知AD∥BC，AD=AB=1，∠BAD=90°，∠BCD=45°，AE⊥BD．将△ABD沿对角线BD折起（图2），记折起后点A的位置为P且使平面PBD⊥平面BCD．
（1）求三棱锥P-BCD的体积；
（2）求平面PBC与平面PCD所成二面角的平面角的大小．

Answer 1

分析：（1）由题意证明PE为三棱锥P-BCD的高，由原图形可得三角形BDC为等腰直角三角形，求出其面积，则三棱锥P-BCD的体积可求；
（2）由（1）的求解过程知道PE⊥BD，DC⊥BD，过E作DC的平行线后以E点为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面PBC与平面PCD的法向量，由平面法向量求平面PBC与平面PCD所成二面角的平面角的大小．

解答：解：（1）∵平面PBD⊥平面BCD，PE⊥BD，PE?平面PBD，平面PBD∩平面BCD=BD，
∴PE⊥平面BCD，
即PE是三棱锥P-BCD的高，
又∵AD∥BC，AD=AB=1，∠BAD=90°，∠BCD=45°，
∴∠ABD=∠CBD=45°，∠BDC=90°，CD=BD=

AB2+AD2

=

2

，
∴PE=AE=ABsin45o=

2

2

，S△BCD=

1

2

BD•CD=

1

2

×

2

×

2

=1，
∴三棱锥P-BCD的体积V=

1

3

S△BCD•PE=

1

3

×1×

2

2

=

2

6

．
（2）过E作直线EG∥DC，交BC于G，则EG⊥BD，EG⊥PE
如图建立空间直角坐标系，

则P(0，0，

2

2

)，B(

2

2

，0，0)，C(-

2

2

，

2

，0)，D(-

2

2

，0，0).

PB

=(

2

2

，0，-

2

2

)，

PC

=(-

2

2

，

2

，-

2

2

)，

PD

=(-

2

2

，0，-

2

2

)．
设平面PBC的法向量为

n

=（x，y，z），
则

n • PB =0 n • PC =0

，即

2 2 x- 2 2 z=0 - 2 2 x+ 2 y- 2 2 z=0

，化简得

z=x x-2y+z=0

令x=1，得z=1，y=1，所以

n

=（1，1，1）是平面PBC的一个法向量．
再设

m

=(x1，y1，z1)，
则

m • PC =0 m • PD =0

，即

- 2 2 x1+ 2 y1- 2 2 z1=0 - 2 2 x1- 2 2 z1=0

，化简得

x1-2y1+z1=0 x1+z1=0

令x₁=1，得y₁=0，z₁=-1，所以平面PCD的一个法向量为

m

=（1，0，-1）．
设向量

n

和

m

所成角为θ，则cosθ=|

n • m

| n |•| m |

|=

0

3 • 2

=0．
∴平面PBC与平面PCD所成二面角的平面角的大小为90°．

点评：本题考查了棱锥的体积的求法，考查了二面角的平面角及求法，综合考查了学生的空间想象能力和思维能力，解答此题时一定要注意折叠前后的变量与不变量，此题是中档题．