Question

在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2，底面是边长为1的正方形，E、F分别是棱B₁B、DA的中点．
（1）求证：BF∥平面AD₁E；
（2）求证：D₁E⊥平面AEC．

Answer 1

分析：（1）取DD₁的中点G，连接GB，GF．根据已知中E、F分别是棱B₁B、DA的中点，我们易证明四边形BED₁G为平行四边形，则BG∥D₁E，根据线面平行的判定定理可得BG∥平面AD₁E，进而根据面面平行的判定定理得到平面BGF∥平面AD₁E，最后由面面平行的性质得到BF∥平面AD₁E；
（2）由已知中AA₁=2，底面是边长为1的正方形，根据勾股定理，我们可以求出D₁E⊥AE，D₁E⊥CE，结合线面垂直的判定定理即可得到D₁E⊥平面AEC．

解答：证明：（1）取DD₁的中点G，连接GB，GF．∵E、F分别是棱BB₁、DA的中点，
∴GF∥AD₁，BE∥D₁G且BE=D₁G，∴四边形BED₁G为平行四边形，∴BG∥D₁E．
又D₁E、D₁A?平面AD₁E，BG、GF?平面AD₁E，∴BG∥平面AD₁E，GF∥平面AD₁E．
∵BG、GF?平面BGF，且BG∩GF=G，∴平面BGF∥平面AD₁E．
∵BF?平面BGF，∴BF∥平面AD₁E．
（2）∵AA₁=2，A₁D₁=1，∴AD1=

A A 2 1 +A1 D 2 1

=

5

．
同理可得：AE=

2

，D1E=

3

．∵A

D

2 1

=D1E2+AE2  ，∴D₁E⊥AE．
同理可证得D₁E⊥CE．
又AE∩CE=E，AE?平面AEC，CE?平面AEC，∴D₁E⊥平面AEC．

点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，（1）中的关键是证明平面BGF∥平面AD₁E，（2）中的关键是证明D₁E⊥AE，₁E⊥CE．