精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
已知圆C1:(x+1)2+y2=8,点C2(1,0),点Q在圆C1上运动,QC2的垂直平分线交QC1于点P.
(Ⅰ) 求动点P的轨迹W的方程;
(Ⅱ) 设M,N是曲线W上的两个不同点,且点M在第一象限,点N在第三象限,若
OM
+2
ON
=2
OC1
,O为坐标原点,求直线MN的斜率k;
(Ⅲ)过点S(0,-
1
3
)
且斜率为k的动直线l交曲线W于A,B两点,在y轴上是否存在定点D,使以AB为直径的圆恒过这个点?若存在,求出D的坐标,若不存在,说明理由.
分析:(I)由QC2的垂直平分线交QC1于P,知|PQ|=|PC2|,动点P的轨迹是点C1,C2为焦点的椭圆.由此能够求出椭圆的标准方程.
(Ⅱ)设M(a1,b1),N(a2,b2),则a12+2b12=2,a22+2b22=2.由
OM
+2
ON
=2
OC1
,a1+2a2=-2,b1+2b2=0,由此能求出直线MN的斜率.
(Ⅲ)直线l的方程为y=kx-
1
3
,联立直线和椭圆方程,得
y=kx-
1
3
x2
2
+y2=1
,整理得(1+2k2)x2-12kx-16=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=
4k
3(1+2k2)
x1x2=-
16
9(1+2k2)
,假设在y轴上存在定点D(0,m),使以AB为直径的圆恒过这个点,
DA
DB
=x1x2-(y1-m)(y2-m) =0
,由此能够求出D点坐标.
解答:解(1)∵QC2的垂直平分线交QC1于P,
∴|PQ|=|PC2|,
|PC2|+|PC1|=|PC1|+|PQ|=|QC1|=2
2
>|C1C2|=2,
∴动点P的轨迹是点C1,C2为焦点的椭圆.
设这个椭圆的标准方程是
x2
a2
+
y 2
b2
=1

∵2a=2
2
,2c=2,∴b2=1,
∴椭圆的标准方程是
x2
2
+y2=1

(Ⅱ)设M(a1,b1),N(a2,b2),
则a12+2b12=2,a22+2b22=2.
OM
+2
ON
=2
OC1

则a1+2a2=-2,b1+2b2=0,
a1=
1
2
b1=
14
4
a2=-
5
4
b2=-
14
8

∴直线MN的斜率为
b2-b1
a2-a1
=
3
14
14

(Ⅲ)直线l的方程为y=kx-
1
3
,联立直线和椭圆方程,得
y=kx-
1
3
x2
2
+y2=1
,∴9(1+2k2)x2-12kx-16=0,
由题意知,点S(0,-
1
3
)在直线上,动直线l交曲线W于A、B两点,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
x1+x2=
4k
3(1+2k2)
x1x2=-
16
9(1+2k2)

假设在y轴上存在定点D(0,m),使以AB为直径的圆恒过这个点,
DA
= (x1y1-m)  ,
DB
=(x2y2-m)

DA
DB
=x1x2+(y1-m)(y2-m) =0

y1=kx1-
1
3
y2=kx2-
1
3

∴x1x2+(y1-m)(y2-m)=x1x2+y1y2-m(y1+y2)+m2
=(k2-1) x1x2-k(
1
3
-m) (x1-x2) -m2 +
2
3
m+
1
9

=-
16(k2-1)
9(2k2+1)
-k(
1
3
-m) 
4k
3(2k2+1)
-m2+
2
3
m+
1
9

=
18(m2-1)k2+(9m2+6m-15)
9(2k2+1)
=0.
m2-1=0
9m2+6m-15=0
,∴m=1,
所以,在y轴上存在满足条件的定点D,点D的坐标为(0,1).
点评:本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力,具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识,解题时要注意合理地进行等价转化.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

5、已知圆C1:(x+1)2+(y-1)2=1,圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称,则圆C2的方程为(  )

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知圆c1:(x+1)2+y2=8,点c2(1,0),点Q在圆C1上运动,QC2的垂直一部分线交QC1于点P.
(I)求动点P的轨迹W的方程;
(II)过点S(0,-
13
)且斜率为k的动直线l交曲线W于A、B两点,在y轴上是否存在定点D,使以AB为直径的圆恒过这个点?若存在,求出D的坐标,若不存在,说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知圆C1:(x-1)2+y2=1;圆C2:x2+(y+2)2=1,则圆C1与C2的位置关系是(  )

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知圆C1:(x+1)2+(y-1)2=1,圆C2与圆C1关于直线x-y-2=0对称;
(1)求圆C2的方程,
(2)过点(2,0)作圆C2的切线l,求直线l的方程.

查看答案和解析>>

同步练习册答案