Question

6．如图所示几何体ABC-A₁B₁C₁中，A₁、B₁、C₁在面ABC上的射影分别是线段AB、BC、AC的中点，面A₁B₁C₁∥面ABC，△ABC是边长为2的等边三角形．
（1）求证：△A₁B₁C₁是等边三角形；
（2）若面ACB₁A₁⊥面BA₁B₁，求该几何体ABC-A₁B₁C₁的体积；
（3）在（2）的条件下，求面ABC与面A₁B₁B所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）设A₁，B₁，C₁在底面ABC上的射影分别为E，F，G，则A₁E∥BF，推导出A₁B₁=$\frac{1}{2}$AC，A₁C₁=$\frac{1}{2}BC$，B₁C₁=$\frac{1}{2}AB$，由此能证明△A₁B₁C₁是等边三角形．
（2）设A₁E=h，取A₁B₁的中点K，由${V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=${V}_{EFG-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$+3${V}_{A-EG{C}_{1}{A}_{1}}$，能求出该几何体ABC-A₁B₁C₁的体积．
（3）过B作AC的平行线l，则l为面ABC与面A₁B₁B的交线，分别取A₁B，AC的中点K，G，则∠KBG是面ABC与面A₁B₁B所成的锐二面角的平面角，由此能求出面ABC与面A₁B₁B所成的锐二面角的余弦值．

解答 证明：（1）如图，设A₁，B₁，C₁在底面ABC上的射影分别为E，F，G，则A₁E∥BF
∵面A₁B₁C₁∥面ABC，面面A₁B₁EF∩面ABC=EF，∴A₁B₁∥EF，
又E、F分别是线段AB、BC的中点，即AC∥EF，∴A₁B₁∥AC，且A₁B₁=$\frac{1}{2}$AC，
同理，A₁C₁=$\frac{1}{2}BC$，B₁C₁=$\frac{1}{2}AB$，
∵△ABC是等边三角形，∴△A₁B₁C₁是等边三角形．
解：（2）设A₁E=h，取A₁B₁的中点K，∵A₁B=$\sqrt{1+{h}^{2}}$=BB₁，∴BK⊥A₁B₁，
又面ACB₁A₁⊥面BA₁B₁，∴BK⊥面ACB₁A₁，即BK⊥GK，
由题意得${A}_{1}B=B{B}_{1}=A{A}_{1}={B}_{1}C=\sqrt{{h}^{2}+1}$，BK=GK=$\sqrt{{h}^{2}+\frac{3}{4}}$，
∵BG=$\sqrt{3}$，∴h=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴该几何体ABC-A₁B₁C₁的体积：
${V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=${V}_{EFG-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$+3${V}_{A-EG{C}_{1}{A}_{1}}$
=$\frac{\sqrt{3}}{4}×\frac{\sqrt{3}}{2}+3×\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{9}{8}$．
（3）过B作AC的平行线l，则l为面ABC与面A₁B₁B的交线，
分别取A₁B，AC的中点K，G，
则BK⊥A₁B₁，BG⊥AC，
∵A₁B₁∥AC∥l，∴∠KBG是面ABC与面A₁B₁B所成的锐二面角的平面角，
∵BK⊥KG，∴cos∠KBG=$\frac{KB}{BG}$=$\frac{\frac{\sqrt{6}}{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴面ABC与面A₁B₁B所成的锐二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查等边三角形的证明，考查几何体的体积的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．