分析 (1)设A1,B1,C1在底面ABC上的射影分别为E,F,G,则A1E∥BF,推导出A1B1=$\frac{1}{2}$AC,A1C1=$\frac{1}{2}BC$,B1C1=$\frac{1}{2}AB$,由此能证明△A1B1C1是等边三角形.
(2)设A1E=h,取A1B1的中点K,由${V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=${V}_{EFG-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$+3${V}_{A-EG{C}_{1}{A}_{1}}$,能求出该几何体ABC-A1B1C1的体积.
(3)过B作AC的平行线l,则l为面ABC与面A1B1B的交线,分别取A1B,AC的中点K,G,则∠KBG是面ABC与面A1B1B所成的锐二面角的平面角,由此能求出面ABC与面A1B1B所成的锐二面角的余弦值.
解答 证明:(1)如图,设A1,B1,C1在底面ABC上的射影分别为E,F,G,则A1E∥BF
∵面A1B1C1∥面ABC,面面A1B1EF∩面ABC=EF,∴A1B1∥EF,
又E、F分别是线段AB、BC的中点,即AC∥EF,∴A1B1∥AC,且A1B1=$\frac{1}{2}$AC,
同理,A1C1=$\frac{1}{2}BC$,B1C1=$\frac{1}{2}AB$,
∵△ABC是等边三角形,∴△A1B1C1是等边三角形.
解:(2)设A1E=h,取A1B1的中点K,∵A1B=$\sqrt{1+{h}^{2}}$=BB1,∴BK⊥A1B1,
又面ACB1A1⊥面BA1B1,∴BK⊥面ACB1A1,即BK⊥GK,
由题意得${A}_{1}B=B{B}_{1}=A{A}_{1}={B}_{1}C=\sqrt{{h}^{2}+1}$,BK=GK=$\sqrt{{h}^{2}+\frac{3}{4}}$,
∵BG=$\sqrt{3}$,∴h=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∴该几何体ABC-A1B1C1的体积:
${V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=${V}_{EFG-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$+3${V}_{A-EG{C}_{1}{A}_{1}}$
=$\frac{\sqrt{3}}{4}×\frac{\sqrt{3}}{2}+3×\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{9}{8}$.
(3)过B作AC的平行线l,则l为面ABC与面A1B1B的交线,
分别取A1B,AC的中点K,G,
则BK⊥A1B1,BG⊥AC,
∵A1B1∥AC∥l,∴∠KBG是面ABC与面A1B1B所成的锐二面角的平面角,
∵BK⊥KG,∴cos∠KBG=$\frac{KB}{BG}$=$\frac{\frac{\sqrt{6}}{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴面ABC与面A1B1B所成的锐二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$.
点评 本题考查等边三角形的证明,考查几何体的体积的求法,考查二面角的余弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.
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