(本小题满分14分)
已知函数f(x)=ln(1+x)-x1
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)记f(x)在区间(n∈N*)上的最小值为bx令an=ln(1+n)-bx。
(ⅰ)如果对一切n,不等式恒成立,求实数c的取值范围;
(ⅱ)求证: 。
(Ⅰ)-1<x<0,f(x)的单调递增区间为(-1,0);x>0,f(x)的单调递增区间为(0,+).
(Ⅱ)(ⅰ)(-,1)
(ⅱ)证明见解析。
【解析】本小题主要考查函数的单调性、最值、不等式、数列等基本知识,考查运用导数研究函数性质的方法,考查分析问题和解决问题的能力,满分14分.
解法一:
(I)因为f(x)=ln(1+x)-x,所以函数定义域为(-1,+),且f〃(x)=-1=.
由f〃(x)>0得-1<x<0,f(x)的单调递增区间为(-1,0);
由f〃(x)<0得x>0,f(x)的单调递增区间为(0,+).
(II)因为f(x)在[0,n]上是减函数,所以bn=f(n)=ln(1+n)-n,
则an=ln(1+n)-bn=ln(1+n)-ln(1+n)+n=n.
(i)
>
又lim,
因此c<1,即实数c的取值范围是(-,1).
(ⅱ)由(i)知
因为[]2
=
所以<(nN*),
则<
N*)
解法二:
(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)因为f(x)在上是减函数,所以
则
(i)因为对n∈N*恒成立.所以对n∈N*恒成立.
则对n∈N*恒成立.
设 n∈N*,则c<g(n)对n∈N*恒成立.
考虑
因为=0,
所以内是减函数;则当n∈N*时,g(n)随n的增大而减小,
又因为=1.
所以对一切因此c≤1,即实数c的取值范围是(-∞,1].
(ⅱ) 由(ⅰ)知
下面用数学归纳法证明不等式
①当n=1时,左边=,右边=,左边<右边.不等式成立.
②假设当n=k时,不等式成立.即
当n=k+1时,
=
即n=k+1时,不等式成立
综合①、②得,不等式成立.
所以
即.
科目:高中数学 来源: 题型:
3 |
π |
4 |
π |
4 |
π |
2 |
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
(本小题满分14分)设椭圆C1的方程为(a>b>0),曲线C2的方程为y=,且曲线C1与C2在第一象限内只有一个公共点P。(1)试用a表示点P的坐标;(2)设A、B是椭圆C1的两个焦点,当a变化时,求△ABP的面积函数S(a)的值域;(3)记min{y1,y2,……,yn}为y1,y2,……,yn中最小的一个。设g(a)是以椭圆C1的半焦距为边长的正方形的面积,试求函数f(a)=min{g(a), S(a)}的表达式。
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源:2011年江西省抚州市教研室高二上学期期末数学理卷(A) 题型:解答题
(本小题满分14分)
已知=2,点()在函数的图像上,其中=.
(1)证明:数列}是等比数列;
(2)设,求及数列{}的通项公式;
(3)记,求数列{}的前n项和,并证明.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源:2015届山东省威海市高一上学期期末考试数学试卷(解析版) 题型:解答题
(本小题满分14分)
某网店对一应季商品过去20天的销售价格及销售量进行了监测统计发现,第天()的销售价格(单位:元)为,第天的销售量为,已知该商品成本为每件25元.
(Ⅰ)写出销售额关于第天的函数关系式;
(Ⅱ)求该商品第7天的利润;
(Ⅲ)该商品第几天的利润最大?并求出最大利润.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源:2011-2012学年广东省高三下学期第一次月考文科数学试卷(解析版) 题型:解答题
(本小题满分14分)已知的图像在点处的切线与直线平行.
⑴ 求,满足的关系式;
⑵ 若上恒成立,求的取值范围;
⑶ 证明:()
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com