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(本小题满分14分)

   已知函数f(x)=ln(1+x)-x1

(Ⅰ)求f(x)的单调区间;

(Ⅱ)记f(x)在区间n∈N*)上的最小值为bxan=ln(1+n)-bx

(ⅰ)如果对一切n,不等式恒成立,求实数c的取值范围;

(ⅱ)求证:

 

【答案】

(Ⅰ)-1<x<0,f(x)的单调递增区间为(-1,0);x>0,f(x)的单调递增区间为(0,+).

(Ⅱ)(ⅰ)(-,1)

(ⅱ)证明见解析。

【解析】本小题主要考查函数的单调性、最值、不等式、数列等基本知识,考查运用导数研究函数性质的方法,考查分析问题和解决问题的能力,满分14分.

解法一:

(I)因为f(x)=ln(1+x)-x,所以函数定义域为(-1,+),且f(x)=-1=.

f〃(x)>0得-1<x<0,f(x)的单调递增区间为(-1,0);

f〃(x)<0得x>0,f(x)的单调递增区间为(0,+).

(II)因为f(x)在[0,n]上是减函数,所以bn=f(n)=ln(1+n)-n,

an=ln(1+n)-bn=ln(1+n)-ln(1+n)+n=n.

(i)

>

又lim,

因此c<1,即实数c的取值范围是(-,1).

(ⅱ)由(i)知

因为[]2

=

所以(nN*),

N*)

 

解法二:

(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)因为f(x)在上是减函数,所以

   则

(i)因为n∈N*恒成立.所以n∈N*恒成立.

  则n∈N*恒成立.

  设 n∈N*,则cg(n)对n∈N*恒成立.

  考虑

  因为=0,

  所以内是减函数;则当n∈N*时,g(n)随n的增大而减小,

又因为=1.

所以对一切因此c≤1,即实数c的取值范围是(-∞,1].

(ⅱ) 由(ⅰ)知

     下面用数学归纳法证明不等式

     ①当n=1时,左边=,右边=,左边<右边.不等式成立.

     ②假设当n=k时,不等式成立.即

n=k+1时,

 

=

即n=k+1时,不等式成立

综合①、②得,不等式成立.

所以

.

 

 

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3
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π
4
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