Question

已知cos(α+β)=

5

13

，cosβ=

4

5

，α，β∈(0，

π

2

)，求cosα及sin（α+2β）的值．

Answer 1

分析：（1）先利用同角三角函数的基本关系和α、β的范围，求得sin（α+β）和sinβ的值，进而根据cosα=cos[（α+β）-β]利用余弦函数的两角差公式求得答案．
（2）根据已知，利用同角三角函数的基本关系求得sin（α+β）和sinβ的值，进而根据sin（α+2β）=sin[（α+β）+β]利用两角和正弦公式求得答案．

解答：解：∵α，β∈(0，

π

2

)，∴α+β∈（0，π）
∴sin（α+β）=

1-co  s2(α+β)

=

1-( 5 13 )2

=

12

13

∴sinβ=

1-cos2β

=

1-( 4 5 )2

=

3

5

cosα=cos[（α+β）-β]=cos（α+β）cosβ+sin（α+β）sinβ
=

5

13

×

4

5

+

12

13

×

3

5

=

56

65

sin（α+2β）=sin[（α+β）+β]=sin（α+β）cosβ+cos（α+β）sinβ
=

12

13

×

4

5

+ 

5

13

× 

3

5

=

63

65

点评：本题考查两角和与差的三角函数公式的应用，本题要注意运用角的整体代换α=（α+β）-β，α+2β=（α+β）+β．