Question

【题目】已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4． （Ⅰ） 若直线l过点A（2，3）且被圆C截得的弦长为2 ，求直线l的方程；
（Ⅱ） 若直线l过点B（1，0）与圆C相交于P，Q两点，求△CPQ的面积的最大值，并求此时直线l的方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）圆C的圆心坐标为C（3，4），半径R=2， ∵直线l被圆E截得的弦长为2 ，∴圆心C到直线l的距离d=1
①当直线l的斜率不存在时，l：x=2，显然满足d=1；
②当直线l的斜率存在时，设l：y﹣3=k（x﹣2），即kx﹣y+3﹣2k=0，
由圆心C到直线l的距离d=1得： ，解得k=0，故l：y=3；
综上所述，直线l的方程为x=2或y=3
（Ⅱ）法一：∵直线与圆相交，∴l的斜率一定存在且不为0，设直线l方程：y=k（x﹣1），
即kx﹣y﹣k=0，则圆心C到直线l的距离为d= ，
又∵△CPQ的面积S= =d = =
∴当 时，S取最大值2．由d= = ，得k=1或k=7，
∴直线l的方程为x﹣y﹣1=0或7x﹣y﹣7=0．
法二：设圆心C到直线l的距离为d，
则 （取等号时 ）
以下同法一．
法三：
取“=”时∠PCQ=90°，△CPQ为等腰直角三角形，则圆心C到直线l的距离 ，
以下同法一．
【解析】（Ⅰ）求出圆C的圆心坐标为C（3，4），半径R=2，推出圆心C到直线l的距离d=1，（1）当直线l的斜率不存在时，l：x=2，判断是否满足题意（2）当直线l的斜率存在时，设l：y﹣3=k（x﹣2），利用点到直线的距离公式求解即可．（Ⅱ）法一：设直线l方程：y=k（x﹣1），利用点到直线的距离公式以及三角形面积公式，通过二次函数的最值求解即可． 法二：设圆心C到直线l的距离为d，表示三角形的面积，利用基本不等式求解即可．法三：S△CPQ= RRsin∠PCQ，利用三角函数的最值求解，圆心C到直线l的距离 ，然后转化求解即可．