【题目】已知向量
，若
与
的夹角为
，则直线
与圆
的位置关系是（ ）
A.相交但不过圆心B.相交且过圆心C.相切D.相离
【答案】C
【解析】
由已知利用向量的数量积的定义可求得cosαcosβ+sinαsinβ
，要判断直线xcosα+ysinα+1＝0与圆的位置关系，只要判断圆心（cosβ，sinβ）到直线2xcosα+2ysinα+1＝0的距离d与圆的半径的比较即可
解：由题意可得|
|＝2，
，
2×3
3
又
6cosαcosβ+6sinαsinβ＝3，
∴cosαcosβ+sinαsinβ，
圆（x﹣cosβ）2+（y﹣sinβ）2＝1的圆心坐标为（cosβ，sinβ），半径为1；
∵圆心（cosβ，sinβ）到直线2xcosα+2ysinα+1＝0的距离
d
1；
∴直线2xcosα＋2ysinα+1＝0与圆（x﹣cosβ）2+（y﹣sinβ）2＝1相切，
故选：C．
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【题目】若数列
满足
，则称数列为“平方递推数列”．已知数列
中，
，点
在函数
的图象上，其中
为正整数．
（1）证明数列
是“平方递推数列”，且数列
为等比数列；
（2）设（1）中“平方递推数列”的前项积为
，即
，求
；
（3）在（2）的条件下，记
，求数列
的前项和
，并求使
的的最小值．
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【题目】已知函数
，
（其中
）.对于不相等的实数
，
，设
，
下列说法正确的是（ ）
A.对于任意不相等的实数，，都有
；
B.对于任意的
及任意不相等的实数，，都有
；
C.对于任意的，存在不相等的实数，，使得
；
D.对于任意的，存在不相等的实数，，使得
.
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【题目】某保险公司给年龄在
岁的民众提供某种疾病的一年期医疗保险，现从
名参保人员中随机抽取
名作为样本进行分析，按年龄段
、
、
、
、
分成了五组，其频率分布直方图如下图所示，参保年龄与每人每年应交纳的保费如下表所示.
年龄（单位：岁） |
|
|
|
|
|
保费（单位：元） |
|
|
|
|
|
（1）求频率分布直方图中实数
的值，并求出该样本年龄的中位数；
（2）现分别在年龄段、、、、中各选出
人共
人进行回访.若从这人中随机选出
人，求这人所交保费之和大于
元的概率.
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【题目】已知函数
，函数
在点
处的切线斜率为0.
（1）试用含有
的式子表示
，并讨论的单调性；
（2）对于函数图象上的不同两点
，
，如果在函数图象上存在点
，使得在点
处的切线
，则称
存在“跟随切线”.特别地，当
时，又称存在“中值跟随切线”.试问：函数上是否存在两点
使得它存在“中值跟随切线”，若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由.
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【题目】某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校
名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）
将学生日均体育锻炼时间在
的学生评价为“锻炼达标”．
（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面
列联表：
并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过
的前提下认为“锻炼达标”与性别有关？
（2）在“锻炼达标”的学生中，按男女用分层抽样方法抽出
人，进行体育锻炼体会交流．
（i）求这人中，男生、女生各有多少人？
（ii）从参加体会交流的人中，随机选出
人发言，记这人中女生的人数为
，求的分布列和数学期望．
参考公式：
，其中
．
临界值表：
| 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 |
0 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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