Question

设直线l与抛物线y²=2px（p＞0）交于A，B两点，已知当直线l经过抛物线的焦点且与x轴垂直时，△OAB的面积为（O为坐标原点）．
（1）求抛物线的方程；
（2）当直线l经过点P（a，0）（a＞0）且与x轴不垂直时，若在x轴上存在点C，使得△ABC为正三角形，求a的取值范围．

Answer 1

解：（1）由条件可得|AB|=2p，O点到AB距离为，
∴=，
∵△OAB的面积为，∴p=1，
∴抛物线的方程为y²=2x．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点为M（x₀，y₀），
又设C（t，0），直线l的方程为x=my+a（m≠0），代入y²=2x得y²-2my-2a=0．
∴△=4（m²+2a），y₁+y₂=2m，y₁y₂=-2a．
所以y₀=m，从而x₀=m²+a．
∵△ABC为正三角形，∴MC⊥AB，|MC|=|AB|．
由MC⊥AB，得，所以t=m²+a+1．
由|MC|=|AB|，得=×，
又∵t=m²+a+1，
∴1+m²=3（m²+1）（m²+2a），
从而a=．
∵m≠0，∴m²＞0，∴0＜a＜．
∴a的取值范围为（0，）．
分析：（1）由条件可得|AB|=2p，O点到AB距离为，结合△OAB的面积为，即可求得抛物线的方程；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点为M（x₀，y₀），设C（t，0），直线l的方程为x=my+a（m≠0），代入y²=2x，可得y₀=m，从而x₀=m²+a，根据△ABC为正三角形，可得MC⊥AB，|MC|=|AB|，从而可确定a的取值范围．
点评：本题考查抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，综合性强．