Question

已知实数a满足1＜a≤2，设函数f (x)＝x³－x²＋a x．
(Ⅰ) 当a＝2时，求f (x)的极小值；
(Ⅱ) 若函数g(x)＝4x³＋3bx²－6(b＋2)x  (b∈R) 的极小值点与f (x)的极小值点相同，
求证：g(x)的极大值小于或等于10．

Answer 1

(Ⅰ) 极小值为f (2)＝ (Ⅱ)证明如下

试题分析：(Ⅰ)解：当a＝2时，f ′(x)＝x²－3x＋2＝(x－1)(x－2)．
列表如下：

x	(－，1)	1	(1，2)	2	(2，＋)
f ′(x)	＋	0	－	0	＋
f (x)	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

所以，f (x)的极小值为f (2)＝．              
(Ⅱ) 解：f ′ (x)＝x²－(a＋1)x＋a＝(x－1)(x－a)．
由于a＞1，所以f (x)的极小值点x＝a，则g(x)的极小值点也为x＝a．
而g′ (x)＝12x²＋6bx－6(b＋2)＝6(x－1)(2x＋b＋2)，所以，
即b＝－2(a＋1)．
又因为1＜a≤2，所以  g(x)_极大值＝g(1)＝4＋3b－6(b＋2)＝－3b－8＝6a－2≤10．
故g(x)的极大值小于或等于10．        
点评：导数常应用于求曲线的切线方程、求函数的最值与单调区间、证明不等式和解不等式中参数的取值范围等。