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19.如图,ABCD是矩形,其中AB=2AD=4,E为DC上一点,使得D点射影落在AE上.

(1)若E为CD中点,求证:AD⊥平面BDE;
(2)设∠DAE=θ,当DB最短时,求θ的值.

分析 (1)由题设可知AD⊥DE,取AE中点O,连接OD、BE,由AD=DE=2,知OD⊥AE,由二面角D-AE-B为直二面角,知OD⊥平面ABCE由此能够证明AD⊥平面BDE.
(2)由BE⊥DE,设DE=x,则CE=4-x,从而DB=$\sqrt{(4-x)^{2}+4+{x}^{2}}$=$\sqrt{2{x}^{2}-8x+20}$=$\sqrt{2(x-2)^{2}+12}$$≥2\sqrt{3}$,当DE=2时,DB最短,由此能求出θ的值.

解答 (1)证明:∵ABCD是矩形,AB=2AD=4,E为DC上一点,使得D点射影落在AE上.
∴AD⊥DE,取AE中点O,
连接OD、BE,∵AD=DE=2,∴OD⊥AE,
又∵D点射影落在AE上,即二面角D-AE-B为直二面角,
∴OD⊥平面ABCE,
∴OD⊥BE,AE=BE=2$\sqrt{2}$,AB=4,
∴AB2=AE2+BE2,AE⊥BE,OD∩AE=O,
∴BE⊥平面ADE,
∴BE⊥AD,BE∩DE=E,
∴AD⊥平面BDE.
(2)解:由(1)得BE⊥DE,∴DB=$\sqrt{B{E}^{2}+D{E}^{2}}$,
设DE=x,则CE=4-x,
∴DB=$\sqrt{(4-x)^{2}+4+{x}^{2}}$=$\sqrt{2{x}^{2}-8x+20}$=$\sqrt{2(x-2)^{2}+12}$$≥2\sqrt{3}$,
当DE=2时,DB最短,此时DB=2$\sqrt{3}$,
在△ADE中,∵AD=DE=2,AD⊥DE,∠DAE=θ,
∴θ=45°.

点评 本题考查直线与平面垂直的证明,考查角的求示,是中档题,解题时要认真审题,注意合理地把空间问题转化为平面问题,合理地运用配方法进行解题.

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