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【题目】已知抛物线,直线与抛物线交于两点.

(Ⅰ)若,求以为直径的圆被轴所截得的弦长;

(Ⅱ)分别过点作抛物线的切线,两条切线交于点,求面积的最小值.

【答案】I4

II4

【解析】

,联立直线和抛物线的方程,运用韦达定理,

I)运用弦长公式可得,以及直线和圆相交的弦长公式,计算可得所求值;

II)对求导,求得切线的斜率和方程,联立方程求得交点E的坐标,以及E到直线AB的距离,弦长,再由三角形的面积公式,计算可得所求最小值.

联立得:

由韦达定理得:

I)当时,

的中点为,则

∴以为直径的圆被轴所截得的弦长为

II)对求导,得,即

直线的方程为

同理,直线的方程为

,联立的方程,

解得

到直线的距离

所以的面积

当且仅当时取等号,

综上,面积的最小值为4.

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