Question

【题目】如图，在三棱锥S﹣ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且MN⊥AM，若AB=2 ，则此正三棱锥外接球的体积是（ ）

A.12π
B.4 π
C. π
D.12 π

Answer 1

【答案】B
【解析】解：∵三棱锥S﹣ABC正棱锥，∴SB⊥AC（对棱互相垂直）∴MN⊥AC

又∵MN⊥AM而AM∩AC=A，∴MN⊥平面SAC即SB⊥平面SAC

∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球．

∴侧棱长为：2，

∴R= ，

∴正三棱锥外接球的体积是 = ．

所以答案是：B．

【考点精析】本题主要考查了直线与平面垂直的判定的相关知识点，需要掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想才能正确解答此题．