Question

1．如图所示，是一个空间几何体的三视图，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的体积是（　　）

• A． $\frac{49}{9}π$
• B． $\frac{{28\sqrt{21}}}{27}π$
• C． $\frac{28}{3}π$
• D． $\frac{{28\sqrt{7}}}{9}π$

Answer 1

分析 由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，根据三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，求出半径即可求出球的体积．

解答 解：由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，
三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，
r=$\sqrt{（\frac{2}{3}×\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{\frac{7}{3}}$，球的体积$\frac{4}{3}$πr³=$\frac{28\sqrt{21}}{27}$π．
故选：B．

点评 本题考查了由三视图求三棱柱的外接球的体积，利用棱柱的几何特征求外接球的半径是解题的关键．