【题目】记无穷数列的前项中最大值为,最小值为,令.
(1)若,写出,,,的值;
(2)设,若,求的值及时数列的前项和;
(3)求证:“数列是等差数列”的充要条件是“数列是等差数列”.
【答案】(1),(2)见解析(3)见解析
【解析】
(1)分别计算出,,,结合题意即可得b1,b2,b3,b4的值;
(2)由新定义,可得λ>0,考虑三种情况求得λ,检验可得所求λ;进而得到bn,由数列的分组求和,可得所求和;
(3)充分性易证,无论d为何值,始终有bn,即可证得结果,必要性须分类证明.
解:(1) 因为,所以,
所以,
(2),
当时,,无解;
当时,,无解;
当时,,解得;
当时,无解,
此时,
当时,,
所以当时递增,
,
所以当时,
(3)必要性:数列是等差数列,设其公差为.
当时是递增数列;当时是常数列;当时,是递减数列;
都有,
所以数列是等差数列.
充分性:数列是等差数列,设其公差为
则,
由题意知,,
当时,对任意都成立,
即,所以是递增数列,
,
所以是公差为的等差数列,
当时,,进而
所以是递减数列,,
,
所以是公差为的等差数列
当时,,
因为与中至少有一个为,所以二者都为,
进而得为常数列,
综上,充分性成立.
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【题目】己知直线2x﹣y﹣1=0与直线x﹣2y+1=0交于点P.
(Ⅰ)求过点P且平行于直线3x+4y﹣15=0的直线的方程;(结果写成直线方程的一般式)
(Ⅱ)求过点P并且在两坐标轴上截距相等的直线方程(结果写成直线方程的一般式)
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【题目】有下列命题:
①在函数的图象中,相邻两个对称中心的距离为;
②函数的图象关于点对称;
③“且”是“”的必要不充分条件;
④在中,若,则角等于或.
其中是真命题的序号为_____________.
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【题目】已知平面直角坐标系中,过点的直线l的参数方程为 (t为参数),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为与曲线C相交于不同的两点M,N.
(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;
(2)若,求实数a的值.
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【题目】个人排成一排,在下列情况下,各有多少种不同排法?
(1)甲不在两端;
(2)甲、乙、丙三个必须在一起;
(3)甲、乙必须在一起,且甲、乙都不能与丙相邻.
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【题目】已知函数f(x)=(kx+)ex﹣2x,若f(x)<0的解集中有且只有一个正整数,则实数k的取值范围为 ( )
A. [ ,)B. (,]
C. [)D. [)
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