Question

设函数f（x）=x³+ax²+bx+c的图象如图所示，且与直线y=0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域的面积为

27

4

．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）设m＞1，如果过点（m，n）可作函数y=f（x）的图象的三条切线，求证：1-3m＜n＜f（m）．

Answer 1

分析：（1）题中给出了函数的面积，故我们可以从定积分着手，求出函数以及函数与x轴的交点，建立等式求解参数，即可求出函数y=f（x）的解析式；
（2）由（1）可知f′（x）=3x²-6x，设函数在点（t，f（t））处的切线方程为y=（3t²-6t）（x-t）+（t³-3t²）．若切线过点（m，n），则存在实数t，使n=（3t²-6t）（m-t）+（t³-3t²），即2t³-（3m+3）t²+6mt+n=0．如果过点（m，n）可作函数y=f（x）的图象的三条切线，从而方程2t³-（3m+3）t²+6mt+n=0有三个相异的实数根，故可证1-3m＜n＜f（m）

解答：解：（1）由图可知函数的图象经过（0，0）点
∴c=0，
又图象与x轴相切于（0，0）点，f′（x）=3x²+2ax+b
∴0=3×0²+2a×0+b，得b=0．
∴f（x）=x³+ax²
故方程可以继续化简为f（x）=x³+ax²=x²（x+a），
令f（x）=0，可得x=0或者x=-a（a＜0）
可以得到图象与x轴交点为（0，0）（-a，0）
故对-f（x）从0到-a求定积分即为所求面积，即

∫

-a 0

(-x3-ax2)dx=

a4

3

-

a4

4

=

a4

12

=

27

4

∴a=-3．（由图象知a=3舍去）
故f（x）=x³-3x²
（2）由（1）可知f′（x）=3x²-6x，
设函数在点（t，f（t））处的切线方程为y=（3t²-6t）（x-t）+（t³-3t²）．
若切线过点（m，n），则存在实数t，使n=（3t²-6t）（m-t）+（t³-3t²），
即2t³-（3m+3）t²+6mt+n=0．                       
令g（t）=2t³-（3m+3）t²+6mt+n，则g′（t）=6t²-6（m+）t+6m=6（t-m）（t-1）．
∵m＞1
∴当t＜1或t＞m时，g′（t）＞0；当1＜t＜m时，g′（t）＜0．
∴g（t）在t=1时取得极大值g（1）=3m+n-1，
在t=m时取得极小值g（m）=n-f（m）
如果过点（m，n）可作函数y=f（x）的图象的三条切线，
则方程2t³-（3m+3）t²+6mt+n=0有三个相异的实数根，
∴

g(1)=3m+n-1＞0 g(m)=n-f(m)＜0

∴1-3m＜n＜f（m）

点评：本题以函数为载体，考查定积分知识的运用，考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的极值，综合性强．