Question

已知(1+m

x

)n(m∈R+)展开式的二项式系数之和为256，展开式中含x项的系数为112．
（Ⅰ）求m、n的值；
（Ⅱ）求(1+m

x

)n(1-

3	x

)6展开式中含x²项的系数．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由二项式系数之和为2ⁿ=256，可得n，再由二项展开式的通项公式结合含x项的系数为112可求的n的值；
（Ⅱ）由二项展开式的通项公式

C

r 8

2r

C

s 6

(-1)sx

r

2

+

s

3

可含求得x²项的系数．

解答：解：（Ⅰ）二项式系数之和为2ⁿ=256，可得n=8；…2分
设含x项为第r+1项，则T_r+1=

C

r 8

(m

x)

r=

C

r 8

m^rx

r

2

…3分
故

r

2

=1，即r=2，…4分
则

C

2 m

m²=112，解得m=±2…6分
∵m∈R+，
∴m=2…7分
（Ⅱ）∵(1+2

x

)n(1-

3	x

)6展开式的通项为

C

r 8

(2

x

)r•

C

s 6

(-

3	x

)s，即

C

r 8

2r

C

s 6

(-1)sx

r

2

+

s

3

（其中r=0，1，2，…8；s=0，2，…6），…9分
令

r

2

+

s

3

=2，则3r+2s=12…10分
∴

r=0 s=6

或

r=2 s=3

或

r=4 s=0

…12分
∴x²的系数为

C

0 8

（-1）⁶+

C

2 8

2²

C

3 6

（-1）³+

C

4 8

24(-1)0=-1119…14分

点评：本题考查二项式定理的应用，着重考查二项展开式的通项公式的应用，注重转化与方程思想的运用，属于中档题．