分析:(1)连接A1D交AD1于O,由ABCD-A1B1C1D1为长方体,B1B=BC,知四边形A1ADD1为正方形,故A1D⊥AD1,由AB⊥面A1ADD1,知AB⊥A1D,A1D⊥面ABD1,由此能求出DD1与平面ABD1所成角的大小.
(2)连接A1B,由A1A⊥面D1DCC1,知A1A⊥D1D、A1A⊥DC,所以∠DD1C是面B D1C与面A D1D所成二面角的平面角,由此能求出面BD1C与面A D1D所成的二面角的大小.
(3)由AD∥BC,知AD∥面BCD1,所以AD的中点M到平面D1B C的距离即为A点到平面D1B C的距离,由此能求出AD的中点M到平面D1B C的距离.
解答:解:(1)连接A
1D交AD
1于O,
∵ABCD-A
1B
1C
1D
1为长方体,而B
1B=BC,
则四边形A
1ADD
1为正方形,∴A
1D⊥AD
1,
又∵AB⊥面A
1ADD
1,A
1D?面A
1ADD
1,
∴AB⊥A
1D,∴A
1D⊥面ABD
1,
∴∠DD
1O是D D
1与平面ABD
1所成角,(2分)
∵四边形A
1ADD
1为正方形,∴∠DD
1O=45°,
则D D
1与平面ABD
1所成角为45°.(4分)
(2)连接A
1B,∵A
1A⊥面D
1DCC
1,D
1D、DC?面D
1DCC
1,
∴A
1A⊥D
1D、A
1A⊥DC,
∴∠DD
1C是面B D
1C与面A D
1D所成二面角的平面角,(6分)
在直角三角形D
1DC中,
∵DC=AB=
,D
1D=B
1B=1,∴∠DD
1C=60°,
即面BD
1C与面AD
1D所成的二面角为60°. (8分)
(3)∵AD∥BC,
∴AD∥面BCD
1,
则AD的中点M到平面D
1B C的距离即为A点到平面D
1B C的距离,
∵BC⊥面A
1ABB
1,
∴面BCD
1A
1⊥面A
1ABB
1,
过A作AH⊥A
1B,垂足为H,
由AH⊥面BCD
1A
1可得,AH即为所求(10分)
在直角三角形A
1AB中,∵AB=
,A
1A=B
1B=1,
∴A
1B=2,
AH==,
∴AD的中点M到平面D
1BC的距离为
. (12分)
点评:本题考查求DD1与平面ABD1所成角的大小,求面BD1C与面AD1D所成二面角的大小,求AD的中点M到平面D1B C的距离.解题时要认真审题,注意合理地把空间问题等价转化为平面问题.