Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=

3

，B₁B=BC=1，
（1）求D D₁与平面ABD₁所成角的大小；
（2）求面B D₁C与面A D₁D所成二面角的大小；
（3）求AD的中点M到平面D₁B C的距离．

Answer 1

分析：（1）连接A₁D交AD₁于O，由ABCD-A₁B₁C₁D₁为长方体，B₁B=BC，知四边形A₁ADD₁为正方形，故A₁D⊥AD₁，由AB⊥面A₁ADD₁，知AB⊥A₁D，A₁D⊥面ABD₁，由此能求出DD₁与平面ABD₁所成角的大小．
（2）连接A₁B，由A₁A⊥面D₁DCC₁，知A₁A⊥D₁D、A₁A⊥DC，所以∠DD₁C是面B D₁C与面A D₁D所成二面角的平面角，由此能求出面BD₁C与面A D₁D所成的二面角的大小．
（3）由AD∥BC，知AD∥面BCD₁，所以AD的中点M到平面D₁B C的距离即为A点到平面D₁B C的距离，由此能求出AD的中点M到平面D₁B C的距离．

解答：解：（1）连接A₁D交AD₁于O，
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁为长方体，而B₁B=BC，
则四边形A₁ADD₁为正方形，∴A₁D⊥AD₁，
又∵AB⊥面A₁ADD₁，A₁D?面A₁ADD₁，
∴AB⊥A₁D，∴A₁D⊥面ABD₁，
∴∠DD₁O是D D₁与平面ABD₁所成角，（2分）
∵四边形A₁ADD₁为正方形，∴∠DD₁O=45°，
则D D₁与平面ABD₁所成角为45°．（4分）
（2）连接A₁B，∵A₁A⊥面D₁DCC₁，D₁D、DC?面D₁DCC₁，
∴A₁A⊥D₁D、A₁A⊥DC，
∴∠DD₁C是面B D₁C与面A D₁D所成二面角的平面角，（6分）
在直角三角形D₁DC中，
∵DC=AB=

3

，D₁D=B₁B=1，∴∠DD₁C=60°，
即面BD₁C与面AD₁D所成的二面角为60°．     （8分）
（3）∵AD∥BC，
∴AD∥面BCD₁，
则AD的中点M到平面D₁B C的距离即为A点到平面D₁B C的距离，
∵BC⊥面A₁ABB₁，
∴面BCD₁A₁⊥面A₁ABB₁，
过A作AH⊥A₁B，垂足为H，
由AH⊥面BCD₁A₁可得，AH即为所求（10分）
在直角三角形A₁AB中，∵AB=

3

，A₁A=B₁B=1，
∴A₁B=2，AH=

A1A•AB

A1B

=

3

2

，
∴AD的中点M到平面D₁BC的距离为

3

2

． （12分）

点评：本题考查求DD₁与平面ABD₁所成角的大小，求面BD₁C与面AD₁D所成二面角的大小，求AD的中点M到平面D₁B C的距离．解题时要认真审题，注意合理地把空间问题等价转化为平面问题．