Question

已知函数f(x)＝ln ax－ (a≠0)．
(1)求函数f(x)的单调区间及最值；
(2)求证：对于任意正整数n，均有1＋(e为自然对数的底数)；
(3)当a＝1时，是否存在过点(1，－1)的直线与函数y＝f(x)的图象相切？若存在，有多少条？若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）当a>0时，函数在(0，a)上是减函数，在(a，＋∞)上是增函数，f(x)min＝f(a)＝ln a²，无最大值．当a<0时，函数在(－∞，a)上是减函数，在(a,0)上是增函数，f(x)_min＝f(a)＝ln a²，无最大值．（2）见解析（3）仅有一根

(1)由题意得f′(x)＝.
当a>0时，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，此时函数在(0，a)上是减函数，在(a，＋∞)上是增函数，f(x)min＝f(a)＝ln a²，无最大值．
当a<0时，函数f(x)的定义域为(－∞，0)，此时函数在(－∞，a)上是减函数，在(a,0)上是增函数，f(x)_min＝f(a)＝ln a²，无最大值．
(2)取a＝1，由(1)知f(x)＝ln x－≥f(1)＝0，故≥1－ln x＝ln，
取x＝1,2,3，…，n，则1＋.
(3)假设存在这样的切线，设其中一个切点为
T，∴切线方程为y＋1＝(x－1)，将点T坐标代入得ln x₀－＋1＝，即ln x₀＋－－1＝0，①
设g(x)＝ln x＋－－1，则g′(x)＝.
∵x>0，∴g(x)在区间(0,1)，(2，＋∞)上是增函数，在区间(1,2)上是减函数，
故g(x)_极大值＝g(1)＝1>0，g(x)_极小值＝g(2)＝ln 2＋>0.
又g＝ln＋12－16－1＝－ln 4－5<0.
注意到g(x)在其定义域上的单调性，知g(x)＝0仅在内有且仅有一根，方程①有且仅有一解，故符合条件的切线仅有一条．