Question

已知f（x）是定义在R上的偶函数，且当x＞0时，f（x）=

x-2

x+1

，若对任意实数t∈[

1

2

，2]，都有f（t+a）-f（t-1）＞0恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A、（-∞，-3）∪（0，+∞）
• B、（-1，0）
• C、（0，1）
• D、（-∞，1）∪（2，+∞）

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：当x＞0时，f（x）=

x-2

x+1

=1-

3

x+1

，可得f（x）在（0，+∞）单调递增．由于对任意实数t∈[

1

2

，2]，都有f（t+a）-f（t-1）＞0即f（t+a）＞f（t-1）恒成立，又f（x）是定义在R上的偶函数，可得|t+a|＞|t-1|，转化为（2a+2）t+a²-1＞0，利用一次函数的单调性即可得出．

解答： 解：∵当x＞0时，f（x）=

x-2

x+1

=1-

3

x+1

，∴f（x）在（0，+∞）单调递增．
∵对任意实数t∈[

1

2

，2]，都有f（t+a）-f（t-1）＞0即f（t+a）＞f（t-1）恒成立，
又f（x）是定义在R上的偶函数，
∴|t+a|＞|t-1|，
∴（2a+2）t+a²-1＞0，
∴

1 2 (2a+2)+a2-1＞0 2(2a+2)+a2-1＞0

，
解得a＞0或a＜-3
则实数a的取值范围是a＞0或a＜-3．
故选：A．

点评：本题考查了函数的奇偶性、单调性、不等式的解法，考查了转化能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．