Question

已知正项数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和S_n满足an=

Sn

+

Sn-1

（n≥2）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{

1

Sn

}的前n项和为T_n，求证：

5

4

≤Tn＜

7

4

 (n≥2)．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知得

Sn

-

Sn-1

=1，从而得到数列{

Sn

}是首项为1，公差为1的等差数列，得

Sn

=n，由此能求出a_n=2n-1．
（Ⅱ）由

1

Sn

=

1

n2

，n≥2，得Tn=C1+C2+…+Cn≥C1+C2=

5

4

，利用裂项求和法推导出T_n=

7

4

-

1

n

＜

7

4

，由此能证明

5

4

≤Sn＜

7

4

(n≥2)．

解答： （Ⅰ）解：因为an=

Sn

+

Sn-1

，
所以Sn-Sn-1=

Sn

+

Sn-1

，
即

Sn

-

Sn-1

=1，
所以数列{

Sn

}是首项为1，公差为1的等差数列，得

Sn

=n，
所以an=

Sn

+

Sn-1

=n+(n-1)=2n-1（n≥2），
当n=1时a₁=1也适合．
所以a_n=2n-1．…（7分）
（Ⅱ）证明：

1

Sn

=

1

n2

，
因为n≥2，所以Tn=C1+C2+…+Cn≥C1+C2=

5

4

，
Tn=1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜1+

1

4

+(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)
=

7

4

-

1

n

＜

7

4

．
所以

5

4

≤Sn＜

7

4

(n≥2)．…（14分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，是中档题，解题时要注意裂项求和法的合理运用．