Question

已知函数，且在处的切线斜率为．
（1）求的值，并讨论在上的单调性；
（2）设函数，其中，若对任意的总存在，使得成立，求的取值范围．

Answer 1

(Ⅰ) 在上单调递增，在 上单调递减
(Ⅱ)

解析试题分析：(Ⅰ)

∴     ∴
∴，或
∴，或
则在上单调递增，在 上单调递减
(Ⅱ)当时，单调递增，
∴   则依题在上恒成立

①当时，，∴在上恒成立，即在上单调递增，又，所以在上恒成立，即时成立
②当时，当时，，此时单调递减，
∴，故时不成立，综上
考点：本题主要考查导数的几何意义，应用导数研究函数的单调性，不等式恒成立问题。
点评：典型题，本题属于导数内容中的基本问题，（1）运用“函数在某点的切线斜率，就是该点的导数值”，确定直线的斜率。通过研究导数值的正负情况，明确函数的单调区间。不等式恒成立问题，一般的要转化成求函数的最值问题。