【题目】 某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品,估计能获得25万元~ 1600万元的投资收益,现准备制定一个对科研课题组的奖励方案:奖金y(单位:万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而增加,奖金不超过75万元,同时奖金不超过投资收益的20%.(即:设奖励方案函数模型为y=f (x)时,则公司对函数模型的基本要求是:当x∈[25,1600]时,①f(x)是增函数;②f (x) 75恒成立; 恒成立.
(1)判断函数是否符合公司奖励方案函数模型的要求,并说明理由;
(2)已知函数符合公司奖励方案函数模型要求,求实数a的取值范围.
【答案】(1) 函数模型,不符合公司要求,详见解析(2) [1,2]
【解析】
(1)依次验证题干中的条件即可;(2)根据题干得,要满足三个条件,根据三个条件分别列出式子得到a的范围,取交集即可.
(1)对于函数模型,
当x∈[25, 1600]时, f (x)是单调递增函数,则f (x) ≤f (1600) ≤75,显然恒成立,若函数恒成立,即,解得x≥60.∴不恒成立,
综上所述,函数模型,满足基本要求①②,但是不满足③,
故函数模型,不符合公司要求.
(2)当x∈[25,1600]时,单调递增,
∴最大值∴
设恒成立,∴恒成立,即,
∵,当且仅当x=25时取等号,∴a2≤2+2=4
∵a≥1, ∴1≤a≤2, 故a的取值范围为[1,2]
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【题目】已知 ,若,且的图象相邻的对称轴间的距离不小于.
(1)求的取值范围.
(2)若当取最大值时, ,且在中, 分别是角的对边,其面积,求周长的最小值.
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【题目】高三年级有500名学生,为了了解数学科的学习情况,现从中随机抽出若干名学生在一次测试中的数学成绩,制成如下频率分布表:
分组 | 频数 | 频率 |
12 | ||
4 | ||
合计 |
根据上面图表,求处的数值
在所给的坐标系中画出的频率分布直方图;
根据题中信息估计总体平均数,并估计总体落在中的概率.
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【题目】我校举行“两城同创”的知识竞赛答题,高一年级共有1200名学生参加了这次竞赛.为了解竞赛成绩情况,从中抽取了100名学生的成绩进行统计.其中成绩分组区间为,,,,,其频率分布直方图如图所示,请你解答下列问题:
(1)求的值;
(2)若成绩不低于90分的学生就能获奖,问所有参赛学生中获奖的学生约为多少人;
(3)根据频率分布直方图,估计这次平均分(用组中值代替各组数据的平均值).
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【题目】假设某士兵远程射击一个易爆目标,射击一次击中目标的概率为,三次射中目标或连续两次射中目标,该目标爆炸,停止射击,否则就一直独立地射击至子弹用完.现有5发子弹,设耗用子弹数为随机变量X.
(1)若该士兵射击两次,求至少射中一次目标的概率;
(2)求随机变量X的概率分布与数学期望E(X).
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【题目】抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形,阿基米德三角形有一些有趣的性质,如:若抛物线的弦过焦点,则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上.设抛物线 >,弦AB过焦点,△ABQ为其阿基米德三角形,则△ABQ的面积的最小值为
A. B. C. D.
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