Question

函数f（x）的定义域是R，若f（x+1）是奇函数，是f（x+2）偶函数．下列四个结论：
①f（x+4）=f（x）；　 ②f（x）的图象关于点（2k，0）（k∈Z）对称； ③f（x+3）是奇函数；　　④f（x）的图象关于直线x=2k+1（k∈Z）对称．其中正确命题的个数是

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   4

Answer 1

B
分析：①由f（x+2）偶函数可得f（x+2）=f（-x+2）；由f（x+1）奇函数可得f（x+1）=-f（-x+1），结合两个条件可判断f（x+4）=f（x）是否成立
②由f（x+1）是奇函可得函数f（x）的图象关于（1，0）对称，而（2k，0）中没有（1，0）点，可判断②
③由f（x+1）奇函数可得f（x+1）=-f（-x+1），结合f（x+4）=f（x）可判断
④由f（x+2）是偶函可知函数f（x）的图象关于x=2对称，而x=2k+1中不包含x=2，可判断
解答：①∵f（x+2）偶函数
∴f（x+2）=f（-x+2）
∵f（x+1）奇函数
∴f（x+1）=-f（-x+1）
∴f[（x+1）+1]=-f（-（x+1）+1）=-f（-x）
即f（x+2）=-f（-x）
∴f（-x+2）=f（x+2）=-f（-x）
即f（t+2）=-f（t）
∴f（t+4）=-f（t+2）=f（t）
∴f（x+4）=f（x），故①正确
②由f（x+1）是奇函可得函数f（x）的图象关于（1，0）对称，而（2k，0）中没有（1，0）点，故②错误
③考察f（x+3）+f（-x+3）
∵f（x+1）奇函数∴f（x+1）=-f（-x+1）∴f（x-2+1）=-f（-（x-2）+1）=-f（-x+3）f（-x+3）=-f（x-1）又由于已经证明f（x+4）=f（x）∴f（x+3）=f（x-1）
∴f（x+3）+f（-x+3）=f（x-1）-f（x-1）=0 即f（x+3）是奇函数，故③正确
④由f（x+2）是偶函可知函数f（x）的图象关于x=2对称
而x=2k+1中不包含x=2，故④错误
故选B
点评：本题主要考查了抽象函数的函数的奇偶函数对称性的应用，函数的周期性的应用，解答本题要求考生应用函数的性质的能力要强