Question

19．已知函数f（x）=x²-mx+1-m²，若|f（x）|在[0，1]上单调递增，则实数m的取值范围-1≤m≤0或m≥2．

Answer 1

分析 分判别式大于或等于0以及判别式小于0两种情况讨论，然后结合二次函数的性质进行求解即可．

解答 解：△=m²-4（1-m²）=5m²-4，函数的对称轴为x=$\frac{m}{2}$，
①当△=0时，5m²-4=0，即m=±$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
若m=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，则对称轴为x=$\frac{\sqrt{5}}{5}$∈[0，1]，则在[0，1]上不单调递增，不满足条件．
若m=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，则对称轴为x=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$＜0，则在[0，1]上单调递增，满足条件．
②当△＜0时，-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$＜m＜$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，此时f（x）＞0恒成立，若|f（x）|在[0，1]上单调递增，
则x=$\frac{m}{2}$≤0，即m≤0，此时，-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$＜m≤0．
③当△＞0，m＜-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$或m＞$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，对称轴为x=$\frac{m}{2}$．
当m＜-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$时，对称轴为x=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$＜0，要使|f（x）|在[0，1]上单调递增，
则只需要f（0）≥0即可，此时f（0）=1-m²≥0，得-1≤m≤1，
此时-1≤m＜-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
若m＞$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，对称轴为x＞$\frac{\sqrt{5}}{5}$，则要使|f（x）|在[0，1]上单调递增，
此时f（0）=1-m²＞0，只需要对称轴$\frac{m}{2}$≥1，所以m≥2．
此时m≥2，
综上-1≤m≤0或m≥2，
故答案为：-1≤m≤0或m≥2

点评 本题考查二次函数单调性的应用．要注意分情况讨论．分类合理，不重不漏．综合性较强，难度较大．