Question

【题目】已知圆C：（x﹣1）2+y2=r2（r＞0）与直线l：y=x+3，且直线l有唯一的一个点P，使得过P点作圆C的两条切线互相垂直，则r=；设EF是直线l上的一条线段，若对于圆C上的任意一点Q，∠EQF≥ ，则|EF|的最小值= ．

Answer 1

【答案】2；4 +4
【解析】解：①∵圆心为C（1，0），半径为r；
设两个切点分别为A、B，则由题意可得四边形PACB为正方形，
∴PC= r，
∴圆心C到直线y=x+3的距离等于PC= r，
即 = r，
解得r=2；
②由题意，圆心C（1，0）到直线l：y=x+3的距离为2 ＞2（半径），
所以直线l和圆相离；
从圆上任一点Q向直线上的两点连线成角，当且仅当点Q在如图所示的位置时，∠EQF最小，
又∠EQF≥ ，得∠EQP≥ ；
∴PE≥PQ=PC+CQ=2 +2，
∴EF≥2PQ=4 +4；
即|EF|的最小值为4 +4．
所以答案是：2；4 +4．