Question

有一个项数为10的实数等比数列{a_n}，S_n（n≤0）表示该数列的前n项和．
（1）当2＜k≤10时，若S_k，S₁₀，S₇成等差数列，求证a_k-1，a₉，a₆也成等差数列；
（2）研究当k∈{3，4}时，S_k，s₁₀，S₇能否成等差数列，如果能，请求出公比；如果不能，并请说明理由．

Answer 1

分析：（1）直接由S_k，S₁₀，S₇成等差数列，分q=1和q≠1两种情况分别求出其对应结论，整理即可证a_k-1，a₉，a₆也成等差数列；
（2）先把k=3代入S_k，s₁₀，S₇成等差数列，求出关于q的方程，看能否求出方程的根即可；同理k=4的求解过程一样．

解答：解：（1）当q=1时，由2s₁₀=s_k+s₇?20a₁=ka₁+7a₁?k=13（舍）．所以S_k，S₁₀，S₇不成等差数列．
当q≠1时，sk=

a1(1-qk)

1-q

，s10=

a1(1-q10)

1-q

，s7=

a1(1-q7)

1-q

，由2s₁₀=s_k+s₇得
2q¹⁰=q^k+q⁷?2q⁸=q^k-2+q⁵?2a₁q⁸=a₁q^k-2+a₁q⁵?2a₉=a_k-1+a₆，
即a_k-1，a₉，a₆也成等差数列
（2）当k=3时，如果S_k，s₁₀，S₇成等差数列，则由2s₁₀=s₃+s₇得，
当q=1时，2s₁₀=s₃+s₇显然不成立．
当q≠1时，2s₁₀=s₃+s₇?2q¹⁰=q³+q⁷，得到关于q的方程：2q⁷=1+q⁴
下面证明上述方程无解：①当q＞1时，2q⁷=q⁷+q⁷＞1+q⁷＞1+q⁴，方程：2q⁷=1+q⁴无解；
②当0＜q＜1时，1+q⁴＞2q²＞2q⁷，方程：2q⁷=1+q⁴无解；
③当q＜0时，1+q⁴＞0＞2q⁷，方程：2q⁷=1+q⁴无解；
综上所述：方程：2q⁷=1+q⁴无解．
即k=3，假设S_k，s₁₀，S₇成等差数列是错误的，S_k，s₁₀，S₇不成等差数列．
当k=4时，如果s₄，s₁₀，，s₇成等差数列，则由2s₁₀=s₄+s₇得，
当q=1时，2s₁₀=s₄+s₇显然不成立；
当q≠1时，由2s₁₀=s₄+s₇?2q¹⁰=q⁴+q⁷，得到关于q的方程2q⁶=1+q³，
分解因式得：（2q³+1）（q³-1）=0?q=-

3	1 2

或q=1（舍）．
综上所述：当k=4时，当q=1，s₄，s₁₀，，s₇不成等差数列；
当q=-

3	1 2

时，s₄，s₁₀，s₇成等差数列．

点评：本题主要考查等差数列和等比数列的综合问题以及分类讨论思想的应用．在解题过程中，分类讨论思想，数形结合思想，转化思想等都是比较常用的．