Question

两个相同的正四棱锥底面重合组成一个八面体，可放于棱长为1的正方体中，重合的底面与正方体的某一个面平行，各顶点均在正方体的表面上，把满足上述条件的八面体称为正方体的“正子体”．
（1）若正子体的六个顶点分别是正方体各面的中心，求异面直线DE与CF所成的角；
（2）问此正子体的体积V是否为定值？若是，求出该定值；若不是，求出体积大小的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求异面直线所成的角可以建立坐标系来解，分别以CA、DB为x、y轴建立空间直角坐标系，根据几何体的长度写出要用的点的坐标，写出两条异面直线对应的向量，根据异面直线所成角为锐角，得到异面直线DE与CF所成的角．
（2）正子体体积不是定值．把正子体分成两个四棱锥，分别求两个四棱锥的体积，根据底面的范围，得到正子体的体积在一个取值范围中，不是一个定值．

解答：解：（1）分别以CA、DB为x、y轴建立空间直角坐标系．
因为AC=1，BD=1，
∴D(0，-

1

2

，0)，E(0，0，

1

2

)，C(-

1

2

，0，0)，
F(0，0，-

1

2

)，

DE

={0，

1

2

，

1

2

}，

CF

={

1

2

，0，-

1

2

}
cosθ=-

1

2

因为异面直线所成角为锐角，
故异面直线DE与CF所成的角为60°
（2）正子体体积不是定值．
设ABCD与正方体的截面四边形为A′B′C′D′，
设AA′=x（0≤x≤1），则AB′=1-x
|AD|2=x2+(1-x)2=2(x-

1

2

)2+

1

2

故SABCD=|AD|2∈[

1

2

，1]
V=

1

3

•SABCD•h•2=

1

3

•SABCD•

1

2

•2=

1

3

SABCD∈[

1

6

，

1

3

]．

点评：本题考查简单组合体的体积，考查几何体的结构特征，考查异面直线所成的角，本题是一个综合题目，需要注意数据的运算不要出错．