Question

已知向量

m

=(2cos

x

2

，1)，

n

=(sin

x

2

，1)（x∈R），设函数f(x)=

m

•

n

-1．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）已知锐角△ABC的三个内角分别为A，B，C，若f(A)=

5

13

，f(B)=

3

5

，求f（C）的值．

Answer 1

分析：（1）根据所给的两个向量的坐标，写出函数f（x）的解析式，逆用正弦的二倍角公式，把函数变形为y=sinx的形式，根据所给的变量的取值范围，写出函数的值域．
（2）根据f(A)=

5

13

，f(B)=

3

5

，写出三角形的两个内角的三角函数值，根据三角形是锐角三角形和同角的三角函数关系，根据两角和的正弦公式，得到结果．

解答：解：（1）∵向量

m

=(2cos

x

2

，1)，

n

=(sin

x

2

，1)（x∈R），
∴f(x)=

m

•

n

-1=(2cos

x

2

，1)•(sin

x

2

，1)-1
=2cos

x

2

sin

x

2

+1-1=sinx．
∵x∈R，
∴函数f（x）的值域为[-1，1]．
（2）∵f(A)=

5

13

，f(B)=

3

5

，∴sinA=

5

13

，sinB=

3

5

．
∵A，B都是锐角，
∴cosA=

1-sin2A

=

12

13

，cosB=

1-sin2B

=

4

5

．
∴f（A+B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB
=

5

13

×

4

5

+

12

13

×

3

5

=

56

65

.
∴f（A+B）的值为

56

65

．

点评：本题表面上是对向量数量积的考查，根据两个向量的坐标，用数量积列出式子，但是这步工作做完以后，题目的重心转移到角的变换问题．注意解题过程中角的范围．