Question

已知如下等式：12=

1×2×3

6

，12+22=

2×3×5

6

，12+22+32=

3×4×7

6

，…当n∈N^*时，试猜想1²+2²+3²+…+n²的值，并用数学归纳法给予证明．

Answer 1

分析：解答此类的方法是从特殊的前几个式子进行分析找出规律．观察前几个式子的变化规律，从中猜想1²+2²+3²+…+n²的值．再用数学归纳法证明，证明时分为两个步骤，第一步，先证明当当n=1时，命题成立，第二步，先假设当n=k时，原式成立，利用此假设证明当n=k+1时，结论也成立即可．

解答：解：由已知，猜想1²+2²+3²+…+n²=

n(n+1)(2n+1)

6

，
下面用数学归纳法给予证明：
（1）当n=1时，由已知得原式成立；
（2）假设当n=k时，原式成立，即1²+2²+3²+…+k²=

k(k+1)(2k+1)

6

，
那么，当n=k+1时，1²+2²+3²+…+（k+1）²=

k(k+1)(2k+1)

6

+（k+1）²
=

(k+1)(k+2)(2k+3)

6

=

(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]

6

故n=k+1时，原式也成立．
由（1）、（2）知1²+2²+3²+…+n²=

n(n+1)(2n+1)

6

成立．

点评：本题主要考查归纳推理、数学归纳法，数学归纳法的基本形式：设P（n）是关于自然数n的命题，若1°P（n₀）成立（奠基）；2°假设P（k）成立（k≥n₀），可以推出P（k+1）成立（归纳），则P（n）对一切大于等于n₀的自然数n都成立．