Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且

sinA

a

=

3 cosC

c

．
（1）求角C的大小；
（2）如果a+b=6，

CA

•

CB

=4，求c的值．

Answer 1

分析：（1）根据正弦定理得到一个关系式，然后与已知条件联立即可求出tanC的值，根据C的范围和特殊角的三角函数值即可求出C的度数；
（2）由（1）中C的度数，求出cosC的值，然后利用平面向量的数量积的运算法则化简

CA

•

CB

=4，即可求出ab的值，利用余弦定理得到一个关系式，再由a+b的值和求出的ab代入关系式即可求出c的值．

解答：解：（1）因为

a

sinA

=

c

sinC

，

sinA

a

=

3 cosC

c

，
所以sinC=

3

cosC，即tanC=

3

，
由C∈（0，π），得到C=

π

3

；
（2）由（1）得：cosC=cos

π

3

=

1

2

则

CA

•

CB

=|

CA

|•|

CB

|cosC=

1

2

ab，又

CA

•

CB

=4，所以ab=8，
又因为a+b=-6，根据余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=（a+b）²-3ab=12，
由c＞0，解得c=2

3

．

点评：此题考查学生灵活运用正弦、余弦定理及平面向量的数量积的运算法则化简求值，是一道综合题．