Question

已知数列{a_n}是各项均为正数的等比数列，且a₂+a₄=10，a₃a₅=64．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=2na_n，求数列{b_n}的前n项．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用等比数列的前n项和公式、“错位相减法”即可得出．

解答： 解：（1）设等比数列{a_n}公比为q＞0，a_n＞0，
∵a₂+a₄=10，a₃a₅=64．
∴

a1q+a1q3=10 a 2 1 q6=64

，解得

a1=1 q=2

，
∴an=1×2n-1=2^n-1．
（2）b_n=2na_n=2n•2^n-1=n•2ⁿ，
∴数列{b_n}的前n项S_n=2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
∴2S_n=2²+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
∴-S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=

2(2n-1)

2-1

-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴S_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

点评：本题考查了等比数列的通项公式与前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．