【题目】已知椭圆方程为,射线与椭圆的交点为M,过M作倾斜角互补的两条直线,分别与椭圆交于A,B两点(异于M).
(1)求证:直线AB的斜率为定值;
(2)求面积的最大值。
【答案】(1)见解析;(2)。
【解析】
(1)先求出点,结合题意设直线MA的方程为,解方程组得到,同理得到,进而得到,为定值.(2)由(1)可设直线AB的方程为,与椭圆方程联立得到关于的方程,结合判别式可得.再由(1)可得点到直线AB的距离为,,
进而求得的面积,最后结合基本不等式可得所求.
(1)证明:由,解得.
∴.
∵过M作的两条直线斜率都存在,不防设直线MA的斜率为,且,
则直线MA的方程为,
由消去
,
∴,
∴.
同理得直线MB的方程为,可得.
∴,为定值.
(2)解:由(1)设直线AB的方程为,
由消去整理得,
∵直线AB与椭圆交于两点,
∴,
解得.
又点到直线AB的距离为,
=.
设的面积为S,
则,
当且仅当,即时等号成立.
∴面积的最大值为.
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【题目】如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,PA=2,∠ABC=90°,,BC=1, ,∠ACD=60°,E为CD的中点.
(1)求证:BC∥平面PAE;
(2)求点A到平面PCD的距离.
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【题目】如图,在四棱锥中,侧面是等边三角形且垂直于底面,底面是矩形,,是的中点.
(1)证明:平面;
(2)点在棱上,且直线与直线所成角的余弦值为,求二面角的余弦值.
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【题目】如图,已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,△ACD为等边三角形,AD=DE=2AB=2a,F为CD的中点.
(1)求证:AF∥平面BCE;
(2)判断平面BCE与平面CDE的位置关系,并证明你的结论.
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【题目】如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,CE⊥AC,EF∥AC,AB=,.
(1)求证:CF⊥平面BDE;
(2)求二面角A-BE-D的大小。
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【题目】已知函数.
(1)若f (x)在区间(-∞,2)上为单调递增函数,求实数a的取值范围;
(2)若a=0,x0<1,设直线y=g(x)为函数f (x)的图象在x=x0处的切线,求证:f (x)≤g(x).
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【题目】已知椭圆:,其离心率为,以原点为圆心,椭圆的短轴长为直径的圆被直线截得的弦长等于.
(1)求椭圆的方程;
(2)设为椭圆的左顶点,过点的直线与椭圆的另一个交点为,与轴相交于点,过原点与平行的直线与椭圆相交于两点,问是否存在常数,使恒成立?若存在,求出;若不存在,请说明理由.
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