【题目】已知等差数列的公差不为零,且,、、成等比数列,数列满足
(1)求数列、的通项公式;
(2)求证:.
【答案】(1),,;(2)证明见解析.
【解析】
(1)设等差数列的公差为,,运用等差数列的通项公式和等比数列的中项性质,解方程可得首项和公差,进而得到,可令,求得,再将换为,相减可得;
(2)原不等式转化为,应用数学归纳法证明,注意检验时不等式成立,再假设时不等式成立,证明时,不等式也成立,注意运用分析法证明.
(1)等差数列的公差不为零,,可得,
、、成等比数列,可得,即,
解方程可得,则.
数列满足,可得,
当时,由,
可得,
相减可得,则,也适合,则,;
(2)证明:不等式即为
,
下面应用数学归纳法证明.
(i)当时,不等式的左边为,右边为,左边右边,不等式成立;
(ii)假设时,不等式成立,
当时,,
要证,
只要证,
即证,
即证,
由,可得上式成立,可得时,不等式也成立.
综上可得,对一切,,
故.
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【题目】已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.
(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明:AR∥FQ;
(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.
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【题目】如图,在四棱锥中, 平面, , , , , , .
(I)求异面直线与所成角的余弦值;
(II)求证: 平面;
(Ⅲ)求直线与平面所成角的正弦值.
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【题目】已知圆O:与直线相切.
(1)求圆O的方程;
(2)若过点的直线l被圆O所截得的弦长为4,求直线l的方程;
(3)若过点作两条斜率分别为,的直线交圆O于B、C两点,且,求证:直线BC恒过定点.并求出该定点的坐标.
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【题目】某产品的广告支出(单位:万元)与销售收入(单位:万元)之间有下表所对应的数据:
(1)画出表中数据的散点图;
(2)求出对的线性回归方程;
(3)若广告费为9万元,则销售收入约为多少万元?
参考公式:
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【题目】直三棱柱中,,分别是,的中点,,为棱上的点.
证明:;
证明:;
是否存在一点,使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为?若存在,说明点的位置,若不存在,说明理由.
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