Question

（2010•顺德区模拟）已知数列{a_n}的前n项和是S_n，且满足S_n=2a_n-1
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足a_n•b_n=2n-1，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）请阅读如图所示的流程图，根据流程图判断该算法能否有确定的结果输出？并说明理由．

Answer 1

分析：（1）、根据题中已知条件先由S_n=2a_n-1可得当n≥2时，S_n-1=2a_n-1-1，两式相减可得，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1a_n=2a_n-1，根据等比数列的通项公式可求；
（2）根据题中的条件先求出数列{a_n}的通项公式，然后求出b_n的表达式，写出数列b_n的前n项和T_n的表达式，然后利用差项相减法便可求出T_n的值．
（3）没有确定的结果输出，原因如下：该流程图的作用首先是求出数列{b_n}的前n项和T_n，然后找出数列{b_n}中使T_n＞6成立的第一项，并输出T_n，n的值，而由（II）可得数列{b_n}的前n项和T_n＜6，不可能满足T_n＞6从而得出结论．

解答：解：（1）由S_n=2a_n-1得，s_n-1=2a_n-1-1---------1分
当n≥2时，a_n=s_n-s_n-1，a_n=（2a_n-1）-（2a_n-1-1）
∴an=2an-1，

an

an-1

=2
∴{a_n}是以2为公比的等比数列-------4分
令n=1得a₁=2a₁-1，
∴a₁=1，
∴{a_n}的通项公式是a_n=2^n-1---------5分
（2）由

a

n

•

b

n

=2n-1得

b

n

=

2n-1

2n-1

=(2n-1)•(

1

2

)n-1--------6分
∴

T

n

=1•(

1

2

)0+3•(

1

2

)2+…+(2n-1)•(

1

2

)n-1--------7分
∴

1

2

T

n

=1•(

1

2

)1+3•(

1

2

)2+…+(2n-1)•(

1

2

)n-8分
相减得：

1

2

T

n

=1+2•(

1

2

)1+2•(

1

2

)2+…+2(

1

2

)n-1-(2n-1)•(

1

2

)n=3-

1

2n-2

-

2n-1

2n

---9分
∴

T

n

=6-

1

2n-3

-

2n-1

2n-1

，-------10分
（3）没有确定的结果输出！-------11分
原因如下：该流程图的作用首先是求出数列{b_n}的前n项和T_n，
然后找出数列{b_n}中使T_n＞6成立的第一项，并输出T_n，n的值，-------12分
而由（2）可得数列{b_n}的前n项和T_n＜6，不可能满足T_n＞6，-------13分
所以该程序将永远执行下去没有确定的结果输出．

点评：本题主要考查了数列通项公式和前n项和的求法，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，解题时注意整体思想和转化思想的运用，属于中档题．