Question

【题目】已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）过椭圆C的右焦点作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若为定值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）要求椭圆标准方程，要有两个独立的条件，本题中抛物线的焦点是，这样有，另外由离心率，就可求得，得标准方程；

（Ⅱ）本题是解析几何中定值问题，设出直线方程为，同时设交点为，由直线方程与椭圆方程联立后消元后可得，利用已知求得（用表示），然后计算可证得结论．

试题解析：（I）设椭圆C的方程为，

因为抛物线的焦点坐标是 所以由题意知b = 1．

又有

∴椭圆C的方程为

（II）方法一：设A、B、M点的坐标分别为

易知右焦点的坐标为（2，0）．

将A点坐标代入到椭圆方程中，得

去分母整理得

方法二：设A、B、M点的坐标分别为

又易知F点的坐标为（2，0）．

显然直线l存在的斜率，设直线l的斜率为k，则直线l的方程是

将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得

又