【题目】如图,四棱锥的底面为直角梯形,,,,为的中点.
(Ⅰ)求证:平面
(Ⅱ)若平面平面,异面直线与所成角为60°,且是钝角三角形,求二面角的正弦值
【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)取的中点,连接,证明四边形为平行四边形,得到即可
(Ⅱ)由条件得出,然后证明平面,然后以为坐标原点,所在直线为轴、轴建立空间直角坐标系,分别求出平面和平面的法向量即可.
(Ⅰ)证明:取的中点,连接,
因为为的中点,则,且,
又,且,所以,,
所以四边形为平行四边形,
所以,平面,平面,
所以平面
(Ⅱ)由题意可知,所以或其补角为异面直线与所成角,
又,为钝角三角形,所以,
又平面平面,平面平面,,
所以平面,
以为坐标原点,所在直线为轴、轴建立空间直角坐标系,
则,,,,,
向量,,
设平面的法向量为
由得,令,
得平面的一个法向量为,
同理可得平面的一个法向量为
设二面角的平面角为,
则
则
故二面角的正弦值为
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【题目】如图,摩天轮的半径为,它的最低点距地面的高度忽略不计.地上有一长度为的景观带,它与摩天轮在同一竖直平面内,且.点从最低点处逆时针方向转动到最高点处,记.
(1)当时,求点距地面的高度;
(2)试确定的值,使得取得最大值.
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【题目】东京夏季奥运会推迟至2021年7月23日至8月8日举行,此次奥运会将设置4 100米男女混泳接力赛这一新的比赛项目,比赛的规则是:每个参赛国家派出2男2女共计4名运动员参加比赛,按照仰泳蛙泳蝶泳自由泳的接力顺序,每种泳姿100米且由1名运动员完成,且每名运动员都要出场.若中国队确定了备战该项目的4名运动员名单,其中女运动员甲只能承担仰泳或者自由泳,男运动员乙只能承担蝶泳或者蛙泳,剩下2名运动员四种泳姿都可以承担,则中国队参赛的安排共有( )
A.144种B.8种C.24种D.12种
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【题目】设X是有限集,t为正整数,F是包含t个子集的子集族:F=.如果F中的部分子集构成的集族S满足:对S中任意两个不相等的集合A、B,均不成立,则称S为反链.设S1为包含集合最多的反链,S2是任意反链.证明:存在S2到S1的单射f,满足或成立.
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【题目】如图,已知椭圆C:过原点的直线与椭圆交于A,B两点(点A在第一象限),过点A作x轴的垂线,垂足为点,设直线BE与椭圆的另一交点为P,连接AP得到直线l,交x轴于点M,交y轴于点N.
(1)若,求直线AP的斜率;
(2)记的面积分别为S1,S2,S3,求的的最大值.
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