【题目】已知函数f(x)=sin2ωx+2 sinωxcosωx﹣cos2ωx(ω>0),f(x)的图象相邻两条对称轴的距离为 .
(1)求f( )的值;
(2)将f(x)的图象上所有点向左平移m(m>0)个长度单位,得到y=g(x)的图象,若y=g(x)图象的一个对称中心为( ,0),当m取得最小值时,求g(x)的单调递增区间.
【答案】
(1)解:由题意可得:f(x)=sin2ωx+2 sinωxcosωx﹣cos2ωx
=﹣(cos2ωx﹣sin2ωx)+ sin2ωx
= sin2ωx﹣cos2ωx
=2sin(2ωx﹣ )
∵f(x)的图象相邻两条对称轴的距离为 .
∴周期T= ,由 = ,可得ω=2.
∴f(x)=2sin(4x﹣ ),
∴f( )=2sin(4× ﹣ )=2sin =1
(2)解:由(1)可知f(x)=2sin(4x﹣ ),则g(x)=2sin(4x+4m﹣ ),
∵( ,0)为y=g(x)图象的一个对称中心,
∴2sin(4× +4m﹣ )=0,解得:4× +4m﹣ =kπ(k∈Z),可得:m= ﹣ ,
当k=1时,m取得最小值
此时g(x)=2sin(4x+ ),
由2k ≤4x+ ≤2k ,k∈Z,解得g(x)的单调递增区间为:[ ﹣ , + ],k∈Z
【解析】(1)由三角函数恒等变换的应用可求函数解析式f(x)=2sin(2ωx﹣ ),由题意可求周期T= ,由周期公式可求ω,从而可得函数解析式,进而得解.(2)由(1)可求g(x)=2sin(4x+4m﹣ ),由题意可得4× +4m﹣ =kπ(k∈Z),可得:m= ﹣ ,可求m的最小值,由2k ≤4x+ ≤2k ,k∈Z,解得g(x)的单调递增区间.
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【题目】如图所示,M、N、P分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB、BC、DD1上的点.
(1)若,求证:无论点P在DD1上如何移动,总有BP⊥MN;
(2)棱DD1上是否存在这样的点P,使得平面APC1⊥平面ACC1?证明你的结论.
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【题目】对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),给出定义:设f′(x)是函数y=f(x)的导数,f″(x)是f′(x)的导数,若方程f″(x)=0有实数解x0 , 则称点(x0 , f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.设函数g(x)=2x3﹣3x2+ ,则g( )+g( )+…+g( )=( )
A.100
B.50
C.
D.0
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【题目】某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名,25周岁以下工人200名.为了研究工人的日平均生产量是否与年龄有关,现采用分层抽样的方法,从中抽取了100名工人,先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组,再将两组工人的日平均生产件数分成5组:,,,,,分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.
(1)根据“25周岁以上组”的频率分布直方图,求25周岁以上组工人日平均生产件数的中位数的估计值(四舍五入保留整数);
(2)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人,求至多抽到一名“25周岁以下组”工人的概率。
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【题目】已知直线l的参数方程为 ,(t为参数),以坐标原点为极点,x正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程是ρ= .
(1)写出直线l的极坐标方程与曲线C的直角坐标方程.
(2)若点P是曲线C上的动点,求点P到直线l的距离的最小值,并求出此时点P的坐标.
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【题目】已知椭圆的左、右焦点为,直线过点且垂直于椭圆的长轴,动直线垂直于点,线段的垂直平分线与的交点的轨迹为曲线,若,且是曲线上不同的点,满足,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
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【题目】某市8所中学生参加比赛的得分用茎叶图表示(如图)其中茎为十位数,叶为个位数,则这组数据的平均数和方差分别是( )
A.91 5.5
B.91 5
C.92 5.5
D.92 5
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【题目】在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,已知曲线C的参数方程是 (θ为参数),曲线C与l的交点的极坐标为(2, )和(2, ),
(1)求直线l的普通方程;
(2)设P点为曲线C上的任意一点,求P点到直线l的距离的最大值.
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